Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
(р) и Гф (р) (и, следова-
тельно, rs'(p) и rs'(p)) совпадают в некоторой открытой вещественной
области. Чтобы убедиться в этом, обозначим я такую перестановку, что
{яО, . . . , я (г - !)) = X, {яг, . . . , яп] = СХ, я0< . . . <я(г- 1),
яг< . . . <яя,
и возьмем в качестве независимых переменных в 1-пространстве ?л- Полагая
7*'-7?=F,(g?,. . .,??),
126
имеем
?ф(57,.... 5? +а, 6Г+1, . ... 52)" = jexp j- i 2^(57. ^)expi(5* +
a)px/?"(p)Jdp1, . . .
• • • . dpn ~ (dф1^" ^ ((r). 1) o^<p*^) -
- (t/(a, 1)e/?s2 Q, ^**Q) = [jfx Q, (1 - E0)U(a, 1) X
X dl*0) - ((1 - E0) U (a, 1) dSj ?U5*q) •
Очевидно, что преобразование Фурье этой функции обращается в нуль всякий
раз, когда рх=-рх=рсх лежат вне спектра энергии - импульса
подпространства всех состояний, ортогональных к вакууму и имеющих такие
же "внутренние" квантовые числа, что и dt' О
s* s s*
или е^ф П (соответственно d<plQ или dq> П). Первоначальное предположение
относительно спектра энергии - импульса теперь будет дополнено следующей,
более детальной, гипотезой.
1. Когда X и СХ имеют более одного элемента, мае-
?
сы состояний, имеющих квантовые числа d<p П или е/?ф'*П, принимают
наибольшую нижнюю границу Мх = -Afe.vX).
2. Когда X имеет один элемент, скажем *={/} , то состояния с квантовыми
числами ортогональные к вакууму, имеют либо массу т3 (одночастичные
состояния), либо массу ^М3>ту, М3 обозначает наибольшую нижнюю границу
масс состояний с требуемыми квантовыми числами, ортогональных вакууму и
одночастичным состояниям. Отсюда следует, что
1) если X и СХ имеют более одного элемента, то
Гф - 4 =0 для (рх, рхУ < Мх = Мех;
2) если Х= {/} или СХ= {/}, то
1%' - if = 0 для (pj, р^фт) и (pj, pj) < Mj.
Кроме того, поскольку (Ф, U(a, 1) 'К) является преобразованием фурье-
меры, то мы имеем в последнем случае
(р2 - /я*) (г?' -г%') = 0 для р2 < М2.
127
Согласно принятой выше точке зрения, мы предположим, что rs' и rs'
обладают аналогичными свойствами. Это подсказывает нам целесообразность
введения новых обобщенных функций
l/=0 J L/=0
Л
Они являются граничными значениями функций Н9 (k) и Hs(k) соответственно,
которые голоморфны в ?Г8= = {k-p + iq, qt^V+}, если s7>0 в 5 и
определяются как
/-О
//>) = h(k]-m*)H's(k).
}=о
^ ''"'S
Функции rs и гф имеют следующие области совпадения: если S' и S" ячейки с
общей поверхностью на гиперплоскости {s : sx = 0}, то
*S' "V' Л
г -г =0,
г(r)' - rsm" = 0 ф ф
для Рх< М2Х
для всех X, таких, что Хфф и СХфФ.
Нетрудно найти отсюда область, где любые две rs совпадают друг с другом.
В частности, мы видим, что все эти обобщенные функции совпадают друг с
другом в области
\р'.р\<М\ЧХ}.
Эта область открыта и непуста. Она содержит открытую непустую область {р
: рх<0 VX}.
Поскольку Мх>0 для всех X, то она содержит также окрестность нуля.
Тождества Штейнмана
Определение (п + 1)-точечных обобщенных запаздывающих функций, данное в §
1, заставляет их удовлетворять множеству линейных тождеств, называемых
тождествами Штейнмана. Можно показать, что последние
128
могут быть порождены некоторым подмножеством линейных тождеств, которые
мы опишем ниже.
Пусть X и У- два подмножества множества {О, 1такие, что
ХфУ, ХфСУ, Y<tx, СХфУ, tl N Н Н СУфСХ, ГфСХ, СХфСУ, СУфХ.
Это означает, как легко проверить, что пересечение гиперплоскостей {s:sx
= 0} и {s:sr = 0} в Sn+i не содержится ни в какой другой гиперплоскости
вида {s:sj = 0}. Пусть = 1, - 1 -четыре ячейки, такие,
что для всех /с{0,..., "}, удовлетворяющих 1фХ, СХ, У, СУ, Si, имеют один
и тот же знак в четырех ячейках и что signX = i, sign Y-j в S,j. Применяя
формулу (1.1) (или соответствующую формулу для нерегуляризованных
о. з. ф.), находим
rgu _ Г"-М = (Q, [<4' , 3^'jQ),
где Si и Si - ячейки, определяемые в терминах переменных {sj}3-ex на
гиперплоскости {s:sx = 0} приписа-нием каждой частичной сумме Sj(Ic:X)
того знака, который она имеет в Si,t или в S_i,i (соответственно в5_1л
или S_it -i), так как частичные суммы Sk имеют один и тот же знак в Sj,i
и в Si,_i для всех К, за исключением области У и СУ. Поскольку 1с:Х
обозначает I^^Y и 1ФСУ, то мы видим, что в действительности Si -Si.
Аналогично S2=S2 и поэтому получим тождества*:
rsi,i - rs- 1.i = rsi. -i - г?-1. -i ф ф ф ф
и
rSI. I rs-l, I _ rs!, - I rs-l, -1 _
Связь с кратными коммутаторами
Формула (1.1) § 1 также показывает, что все о. з. ф. могут быть получены
как линейные комбинации произ-
* Эти тождества имеют место также в формулировке Боголюбова Н. Н, как это
было показано Тодоровым И. Т.- Прим. ред.
5 Зак, 954
129
ведений соответствующих 0-функций с кратными коммутаторами, т. е.
выражениями вида
(Q, Ило(*я0). [• • • 1 [ЛЯ(п-1) X
X (Хя(п-1)) " ^">(*яв)]> * * • ]]] Q) •
Это утверждение докажем индукцией: если мы знаем, что оно верно для
любого числа переменных, меньшего я+1, и для одной (n+1)-точечной о. з.
ф., то формула (1.1), очевидно, показывает, что это верно также для всех
(n+1)-точечных о. з. ф. Таким образом, достаточно найти для каждого п
