Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
представлении ЛЙД (см. гл. 4) для соответствующих коммутаторов.
Преимущество этого метода заключается в том,
107
что мы в явном виде получаем общее аналитическое продолжение амплитуд Тг
и Та, а также квартет двукратных запаздывающих (опережающих)
коммутаторов. Это открывает возможность для аналитического вычисления
оболочек голоморфности и изучения поведения на бесконечности, которое
существенно для возможности использования интеграла Коши (9.11).
Важное место занимает следующая лемма, принадлежащая Дайсону [111].
Лемма 9.4. Каждой функции T^S^'iR*) с supp 'JT'G czV-f. U F_ однозначным
образом соответствует некоторая функция
и (х, ~5) = (2я)-2 J Л + х
Хе-1(Р.*)^Г(р) dp ?<0"(Я*), (9.2/)
удовлетворяющая условию (\JX ----------- ^ и (х, у) = О,
V дУ\ дУ\)
и(х,у) = и(х, Rtдля всех R?0+ (2). (9.28)
Обратно, каждая функция u&$"(R6) со свойством (9.28)
определяет посредством_ формулы и(х, 0) = Т(х) функцию T^tff'(R4)
с'JT'eF+U F-. Отображение (9.27) является топологическим изоморфным двух
пространств обобщенных функций умеренного роста.
Доказательство имеется в работах (65, 109J. Однозначность этой
параметризации всех T^&'iR*) с supp 'JfcF+lJF- есть следствие теоремы
Асгейрссона (см. гл. 4), согласно которой радиально симметричное решение
"е $"(R6) шестимерного волнового уравнения
с условием и(х, 0) =0 тождественно равно нулю.
Лемму 9.4 можно применить к коммутатору
< [А (рО А (р2)] ЕЪ [А (- рз) А (- р4)] >,
который после выделения 6(pi+p2-рз-pi) в системе центра масс
Pi + P2=(l^O), gi = B^PLt д2 = Р*=Р±., (9.29)
согласно лемме 9.2, можно рассматривать как обобщенную функцию
C(s, qu <72)?оо> X 0+).
108
По спектральному условию С имеет носитель
s>m2, \q]\>V т2 + q2i - > '=1.2, (9.30)
а парциальный фурье-образ C(s, уи у2), согласно условию локальности,
имеет носитель по переменным уи уг в (F+1JF-,) Xi(F+ljK_). Преобразование
(9.27) приводит к обобщенной функции u(s, qiy kb q2, кг), удовлетворяющей
(9.28) по переменным (qu к|) и (q2, к2).
Свойства носителя (9.30) по переменным q\ и q2 независимы. Поэтому при
применении принципа Гюйгенса и теоремы Асгейрссона в каждом . волновом
уравнении они приводят к независимым ограничениям на данные Коши на
поверхности {<7(r)= <72=0}, по которым и может быть однозначно определено.
Это дает двукратное представление ЛИД:
С (s, ft, q2) = J dujduadMka jД6 (qi - ии - kx) X
X Ag (<7г - "2, - k2) --- и (s, "ь kb и,, k,) ди°ди°
"H
II? = uj> =0 I 2
+ 3 члена| = (2л) 4 Jdu1du2dk1dk2|(^°) 6' (9J)2 - (4i - ^У - k2) ? (q°)
S' ((q°2y - (q, - ЩУ - Ц) X
JL
du(r) du(r)
X ~ПГ77 u (s> "ь ki > k2)
+ 3 члена!. (9.31)
В (9.31) спектральные обобщенные функции с помощью (9.27) выражаются
через вакуум; <[A(pi)A(p2)]Eo~ X Х(Д(-рз)Ж(-р4)]>о при фиксированных s
имеет в
G(s) = |u2 < -j-, k? > max 0, m - ^---------u2^ U, i = 1, 2|
(9.32)
носитель [111]. Свертывание в (9.31) следует понимать в слабом смысле:
для любого (ре Rs)
j dqidq2(p (qu q2) ? (<7°) 6' ((q(r))2 - (qx - ux)2 - k2) ?
6 (?S)6' {W - (q. - "2У - Ц) (9.33)
109
принадлежит S (R10) по переменным Ui, ki и иг, k2. Общее аналитическое
продолжение двукратных запаздывающих опережающих коммутаторов [108]
получим заменой в (9.31) е( )8'( )е( )8'( ) и ее производных
по <7? и <72 ядром
i a [(^)2-(g/-uf)"+1]"
^ (2я)* дк" I(<?°)2 - (Ч/ - И/)* - Щ] [Щ + 1 ] *
и его производными. Из умеренности роста спектральных обобщенных функций
[см. (1.18)] следует, что ядра являются основными функциями для
достаточно большого 0 и всех (<7ь q2)^D(s), где знаменатель нигде не
обращается в нуль для всех (щ, kb и2, k2)eG(s). Резкие запаздывающие
(опережающие) коммутаторы получаются в виде граничных обобщенных функций
из ±, всегда лежащих в D(s) для s>0, причем необходимые условия,
налагаемые на рост [2], выполняются.
Это явное выражение для Т0 в (9.11) через четырехточечную функцию
Вайтмана устраняет все сомнения относительно умеренности роста
подынтегрального выражения в дисперсионных соотношениях для комплексных
значений массы. Выполнив трудоемкое мажорирование, можно показать, что
интеграл (9.11) равномерно сходится в полосе (9.10) после конечного числа
вычитаний. Отсюда получаем свойства аналитичности и ограниченности для
амплитуды рассеяния согласно теореме 9.1.
В этих лекциях мы нигде не пытались дать "аксиоматическую" характеристику
формулировки ЛСЦ квантовой теории поля. Это не противоречит духу
программы ЛСЦ: недостаточная степень точности в математическом аппарате
теории, которая все же поддается контролю, дает больше гибкости при
введении физических понятий. Часто с помощью более сложного
математического аппарата можно получить более строгие результаты, как мы
это виделц в теории Хаага - Рюэля.
Качественно мы можем принять формулировку ЛСЦ как асимптотически полную
квантовую теорию поля Вайтмана. При этом следует сделать некоторые
технические предположения:
а) инвариантная область для Л(<р), аех(/)(*) должна содержать по
крайней мере Dex, на которой А как век-
