Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
Суммирование производится по всем перестановкам Р чисел (1, 2, 3).
Импульсы частицы обозначены: -рь -Р2, Рз, Ро соответственно.
Выводить здесь эти формулы не будем, поскольку они были изучены в лекциях
Хеппа, которому удалось получить их строгим образом (и в несколько иной
форме) из аксиом Вайтмана. Такие формулы имеют место также в теории Хаага
и Араки (см. лекции Робинсона [6] и Араки [11]). Сразу же после получения
этих формул стало ясно, что можно написать многие редукционные формулы,
которые приводят к аналитичности (вне массовой поверхности) в различных
областях. При этом было также обнаружено, что различные обобщенные
функции, возникающие в этих формулах, являются граничными значениями
одной и той же голоморфной функции в импульсном пространстве -
обстоятельство, обобщающее перекрестные свойства теории возмущений. Эта
проблема была исследована систематически Йостом [12] для трехточечной
функции, и затем Штейнманом [13, 14], Рюэлем [15, 16], Араки [17], Араки
и Бургои-ном [18]. Некоторый прогресс был достигнут недавно Бросом [20].
§ 1. Определение обобщенных запаздывающих функций (о. з. ф.)
В этом параграфе мы сделаем обзор некоторых результатов Рюэля [16], метод
которого, по-видимому, позволяет понять общую картину. Рассмотрим
последо-
,116
вательность п+1 нейтральных скалярных полей Л0(х), Ai(x),..., Ап(х),
удовлетворяющих обычным аксиомам:
(I) U (а, 1 )Aj(x)U(a, 1)~' = Aj(x + a);
(И) \Aj (х), Ак (г/)] = 0 при (х - у)2 < 0;
(Ш) А}(х)С.А)(х),
причем эти соотношения имеют место в смысле соотношений обобщенных
функций умеренного роста, и только тогда, когда они применяются к
соответствующим областям (см. лекции Хеппа).
U(a, 1) является непрерывным унитарным представлением трансляционной
группы RAczU(a, 1) =ехр i а^Р^-. Допустим, что существует такой вектор Q,
однозначный до фазового фактора с проектором Е0, что U(a, 1)Q = Q и что
сужение оператора Я на (1 -Е0) Ж (где Ж- гильбертово пространство) имеет
спектр, содержащийся в множестве
[p?R\ р°> 0, р*> р2},
где р>0, т. е. что массы состояний, ортогональных к вакууму ?2, имеют
строго положительную нижнюю границу р.
Интуитивно удобно, но не существенно, предположить, что U (а, 1)
расширяется до непрерывного унитарного представления группы Пуанкаре
(a, A)-*-U (а, Л),
такого, что
U (а, Л) Й = ?2,
U (a, A)Aj (х) U (с, Л)-1 = А} (Ах + а),
т. е. что Aj(x)-скалярное поле. Читатель может принять это допущение,
хотя интересующие нас свойства не зависят от него.
Будет также удобно рассматривать последовательность регуляризованных
полей А-, ¦)(- фДх), где ф^е55(Я4) бесконечно дифференцируемая функция с
компактным носителем. Такие операторы обладают свойствами (I) и (III),
однако свойство (II) должно быть заменено
[Aj >К ф, (х), Ак >К Ф* (у)! = 0
для х - уфУ+ \JV~ + (supp ф у) - (supp ф*).
117
Следуя Рюэлю, введем обозначение
7Г(*о,. • . , *") = ТГ(х) =
= (fi, АкО (Xto) * • ' " ^жп (Хжп) >
где л - перестановка }-*-nj (0^/^"). Обозначим (л~1х) j = x4- и назовем
функцией класса С°° (?2, Л ~0 >к фго (Х~о) , Ann >k фm{.xm)Q).
Известно, что пе-
реставленные функции Вайтмана ТГ (я) инвариантны относительно
одновременной трансляции, Хо,..., хп и поэтому зависят только от
переменных
Щ - xr.j - хк(/-о (!<;<")•
Их можно рассматривать как обобщенные функции умеренного роста на фактор-
пространстве /?4п+у ЭЛ, где ЭЛ-подпространство, состоящее из векторов
вида Xo = Xi = .. . = х", так как поля А3- являются операторными
обобщенными функциями умеренного роста по предположению, а также в силу
теоремы о ядре. Это фактор-пространство, изоморфное Rin, будем называть
?-про-странством. Для каждой перестановки я переменные
0<I>.<3
линейно независимые координаты на этом многообразии. Рассмотрим теперь
преобразование фурье-функции ТГ (х), определяемое эвристически следующим
образом:
ТГ (х) = j exp j- i 2 (Pj, Xj) <J-(p)j dp0, .... dpn.
Для я = 1 (тождественное преобразование):
ТГ(х) = Г(Ц 5');
W{1\.........?ш,. . .. ед-
= (fi, Ло (Хо) . . . и (а, \) Ak{xk) . . . An{xn)Q) =
= (fi, Л0 М • - • (exp i аР) Ak (xk) . . . Л"(х")Й).
После сглаживания по всем переменным |/ с помощью основных функций
получим обобщенную функцию вида
118
j eisaT(cf)dlq, причем T имеет носитель, содержащийся в спектре оператора
Р. Пользуясь тождеством
(Р. х) = Рп (Хп - Х^) + (р"_, + Рп){Хп^ - Хп_2) + . . . + + (рп+ • • • +
Pk)(xk Xk-\) + • • • +
+ {Рп + . • • + Pi) (Х1 - *о) + P/jxo,
видим, что носитель функции
б'(р)=--б(Ро+ • . • + Рп) ё' (Р) должен содержаться в множестве
Р: 2 Ру= °. - 2 Pfc€^+. 0</<л
/-О k=j
Вводя обозначение
k^i
заметим, что G/ имеет носитель, содержащийся в
Р-2 Р/ = 0, - У+, 0 < / < п
/=о
Как известно, отсюда следует, что W] является граничным значением функции
(преобразования Лапласа 0" ), голоморфной в трубе
l*€C,B+\ line; er+l, где Д.
(Позже мы вернемся к преобразованиям Лапласа обобщенных функций с
носителем на конусе.) Функции также обладают этими свойствами. Локальная
