Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что носитель "Ф... Ф 1 Ф0 содержится в пересечении всех
множеств вида
{х: еj fa - х._,) &/+, е, (Xj - x._2)^V+
ИЛИ Ej(Xj - X0)GV+}
для / = 1,..., га, где 8j=l, если за / следует f и е,=-1, если за /
следует ].
Это пересечение может быть представлено в виде объединения всех множеств
типа
{х: е" (хп - хкп) 0У+, е"_, (х" - хкп_г) G V+, . . .
, , . , - х0) G V'"*"},
где &i = 0, k2<2, &з<3,..., &"<га принимают все допустимые этими
неравенствами значения. Очевидно, что некоторые множества семейства,
определяемого таким образом, содержатся в других множествах того же
семейства. Это произойдет всякий раз, когда за kj следует стрелка с тем
же направлением, что и стрелка после /. Поэтому мы можем оставить только
те множества семейства, для которых после kj стоит стрелка с
направлением, обратным направлению стрелки после /. Такое множество может
быть представлено графически следующим образом: каждому индексу / с
последующей стрелкой f мы приписываем символ X/ (крест с индексом /'), а
каждому индексу k с последующей стрелкой].- символ k (точка с индексом
k). Условимся, что за индексом всегда следует скрытая стрелка
137
с направлением, обратным направлению стрелки после 1: это совместимо с
равенством 1|0=0|1. Мы тогда связываем линией символ, относящийся к 1, с
символом, относящимся к 0, а затем относящийся к 2 символ с символом,
относящимся к 1, если они принадлежат различным категориям (т. е. если 1
и 2 стоят перед обратными стрелками), или с символом, относящимся к 0, в
обратном случае, и будем продолжать эту процедуру шаг за шагом, связывая
относящийся к / символ с символом, относящимся к kj (который обязательно
принадлежит другой категории) и т. д. Полученный график выглядит как
дерево, т. е. связный и просто связный график. Каждая линия связывает
точку с крестом, и ей соответствует неравенство
У к : (xj - xk) G
Это графическое представление было предложено Бросом.
Случай регуляризованных полей
С помощью вышеупомянутого графического представления можно также
показать, что носитель монома Штейнмана содержится в объединении
некоторых множеств, каждое из которых графически представляется деревом.
Однако поскольку неравенства
Xj - %GV+-па, хг - XjE:V+ - па
означают лишь, что хт - x/l<=F+- 2па, то мы должны
каждой линии типа /X------------k в дереве приписать
неравенство (Xj-- Xk)^V+ - п2а.
Элементарные носители
"Элементарным носителем", относящимся к дереву, называют множество,
определяемое неравенствами, соответствующими линиям дерева, например:
J----------• :{Х,-Ч)^У+
138
{или Xj - %eF+ - n2a в случае регуляризованных полей). Теперь мы хотим
доказать, что для данного дерева с (я+1) вершинами переменные Xj - xk,
соответствующие линиям дерева, образуют множество я независимых
(четырехмерных векторных) переменных в ^-пространстве. Это может быть
сделано индукцией по числу вершин на дереве. Допустим, что это свойство
верно для дерева с п вершинами, и рассмотрим дерево с (я+1) вершинами.
Некоторые вершины оказываются крайними, т. е. являются непосредственно
связанными только с одной вершиной. Допустим, что 0 есть такая крайняя
вершина, связанная некоторой линией с 1. Если мы выделим эту линию, то по
гипотезе полученное дерево с я вершинами соответствует (я-1) независимым
переменным Xj - xk, где О, кфЬ. Очевидно, что мы получим п независимых
переменных, если прибавим переменную х0 - Х\.
Теперь мы можем найти переменные, сопряженные (р-пространство) с Xj-Xh,
соответствующие линиям
х "
J к
дерева. Такими же индуктивными рассуждениями легко доказать, что
сопряженной с Xj - xh переменной является
г
где г пробегает все вершины, остающиеся связанными с крестовидной
вершиной / после выделения линий
? В
Элементарный носитель представляет собой закрытый конус в ^-пространстве.
Внутренность дуального к нему конуса в импульсном пространстве (см. II и
III) задается "неравенствами"
SP.GV+
Г
(частичные суммы
ЕРг
Т
139
определены выше). Соответствующие неравенства
(Ssr>0)
в пространстве Еп-и определяют открытый симплициаль-ный конус. Множество
всех таких конусов (соответствующих всем, деревьям с (я-Н) вершинами)
будет обо-
/N
значаться Еп+ь Пусть /+ (соответственно /~) - множество индексов,
соответствующих крестовидным вершинам (соответственно точечным вершинам)
дерева. Внутренность конуса, дуального к связанному с деревом
элементарному носителю, содержится в множестве {p:pj^V+, j^I+; pu^V~,
k^I~} (в этом можно убедиться при помощи таких же индукционных
рассуждений- выделением от дерева крайней вершины). Отсюда следует, что
носитель мономов Штейнмана, для которых индексы из /+ и 1~ стоят перед f
и | соответственно, имеет дуальный конус с внутренностью, содержащейся в
указанном выше множестве: этот дуальный конус является пересечением всех
конусов, дуальных к элементарным носителям, связанным с деревьями,
которые соответствуют мономам Штейнмана. Таким образом, все мономы с
одинаковыми /± являются членами одного и того же штейнмановского
