Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
с dist(/t, дЕ)=г>0 и такая, что для каждой feeT|f(z) | <||f!L. Тогда для
каждой /ееГ существует голоморфная в S(n(z),r) функция, которая совпадает
с foJt-1 в окрестности я (г) Более того, для каждого р, такого, что
0<р<;г,
sup |q>(?')l<ll/IL-
E'eS(n (z). p) л0
Доказательство (Картан - Туллен [27]|
Обозначим d = dist(z, дЕ). Для ?eS^(z), d) мы имеем при любом feeT"
ОО
^"я-'(0^(/я-*(9) = 2^rDaf(Z)(S-Jt(Z))a' (2,5)
|а|=0
Поскольку - Da fesT, то
а!
1 D"f(z)
а!
<
- D"f а!
Из формулы Коши (2.3) мы выведем для любого р, удовлетворяющего условию
0<р<г
Следовательно, ряд (5) мажорируется рядом
F rt
147
Поэтому он сходится абсолютно и равномерно к голоморфной функции ф в
любом полидиске S(n(z), pi) с 0<pi<p, в котором он удовлетворяет условию
Допустим, что в полидиске S(n(z), pi)
Ад *
" sup l<p(Q|>||/|Up.
(л (г), р,) р
Тогда для некоторого р~>0 имеем
\(тсУ >0--Г'
| \н Т IIApJ S (Я (г), Pl) \ Р J
что невозможно, так как '
VII ли,
Важность этой леммы иллюстрируется при доказательстве теоремы о
непрерывности, которая будет сформулирована ниже.
Ситуация, описываемая в гипотезах леммы, может возникать, например, как
результат принципа максимума, если z содержится в открытом подмножестве Q
аналитического подмногообразия области (Е, я) с А = = (5й. В таких
случаях лемма утверждает существование аналитических продолжений всех
функций в §Г в общую риманову область. Мы, таким образом, встречаемся с
наиболее важными чертами теории голоморфных функций многих переменных:
пусть задана область йс:Сп; тогда вообще все функции, голоморфные в О,
могут быть аналитически продолжены за пределы Q. Эти продолжения не
должны быть однолистными: множество областей в Сп нестабильно
относительно аналитического расширения. Однако класс римановых областей
стабилен.
Теорема 2.1. Пусть (Е, я) - риманова область. Тогда существует другая
риманова область (Ел'), однозначная до изоморфизма, такая, что
1) существует гомеоморфизм (х) пространства Е на открытое подмножество
пространства Е', который является голоморфным отображением (т. е. каждая
точка в л{Е) имеет открытую окрестность, в которой я' определяется и
является голоморфным взаим-
но однозначным отображением) и я'°х=я;
148
2) для каждой f, голоморфной на (Е, я), существует функция f, голоморфная
на (?', я'), такая, что
Г° х=/;
3) среди римановых областей со свойствами 1) и 2) (?', я') представляет
собой максимальную область. (?', я') называется оболочкой голоморфности
(?, я).
Риманова область со свойствами 1) и 2) будет называться голоморфным
расширением (Е, я). Область (Я, я) может быть отождествлена с ее образом
(%(?), я'|%(?)) й, следовательно, ее можно рассматривать как подобласть
области (Ея'). Условие 3) означает, что если (?", я") представляет
голоморфное расширение области (?, я), то она является подобластью
области (Ея') в том же смысле.
Мы не будем приводить подробного доказательства этой теоремы, так как его
можно найти в работах, цитированных в начале этой главы, а также в лекции
Малгранжа [25] и в книге Хёрмандера [24]. Для дальнейшего изложения
достаточно кратко описать конструкцию области (?', я')-
Обозначим е€(Е) множество голоморфных функций в (?, я). Пусть 2-
множество всех конечных последовательностей С полидисков (в С) со
следующими свойствами:
1) C={So,S?,.... Sm\(m зависит от С; Sо)> где г,->0 - рациональное число,
а имеет рациональные координаты; ?0>eS?_i (1 ;
2) So=n(S(z0, г0), где S(z0, r0)czE и я является голоморфизмом;
3) для каждой (?) существуют т+1 функций
/о" /ь • • •, fm, голоморфных в So, • • •, Sm соответственно, и таких,
что // совпадает с //_i в S;_if)S/ для
"<*ч
и что /о (л(г) =f(z)) для всех z<=S(z0, /"о).
Образуем теперь несвязное объединение (или теоретико-множественную
сумму):
2Л = disj U S4
с<=х'
и снабдим ЯЛ очевидной топологией (образа). Существует естественное
отображение <р множества ЯЛ в Сп, определяемое таким образом: каждой
точке zeS;, рас-
149
сматриваемой как точка множества ЮЛ, сопоставляется такая же точка,
рассматриваемая как точка пространства Сп. Введем следующее соотношение
эквивалентности в ЯЛ: z^sfи эквивалентны, если для каж-
дой /<=а? (Е)
Поскольку координаты представляют собой голоморфные функции, это
означает, очевидно, что (p(z) =<p(z').
/N
Из разложения в степенной ряд отсюда видно, что fj фактически совпадает с
f// во всей окрестности и поэтому в 5/DSf/. Фактор-пространство Е,
определяемое в ЯЛ при помощи соотношения эквивалентности, является
хаусдорфовым, так как если
(9 ?=/?/(?'),
то это неравенство остается в силе и после того как ? и ?' заменить
достаточно близкими к ним точками. Поскольку ф(г) =ф(г'), если гиг'
эквивалентны, то ф определяет отображение я' пространства Е' в О. Это
отображение представляет собой, очевидно, локальный гомеоморфизм. Для
каждой (Е) существует функ-
ция /, голоморфная на многообразии (?', я'), такая, что f совпадает с ff
в sf. Эти функции отделяют точки области (Е', я'). Отсюда следует, что
