Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
определенйю если задана окрестность W элемента g(to), то существует е>0,
такое, что условие \t - tQ|<е влечет за собой условие g(t)^W. Если W
представляет собой окрестность, соответствующую паре (U, /), то это
означает, что для \t - ?0|<е я[^(/)]е{/ и g(i) является элементом
аналитической функции f в точке л1ё(0]' Иначе говоря, непрерывная
траектория в пространстве элементов аналитической функции является
аналитическим продолжением аналитической функции вдоль непрерывной
траектории в Q. В качестве простого упражнения можно проверить, что Ж (Q)
представляет собой хаусдорфово пространство.
Мы говорим, что элемент g' порождается другим элементом g, если мы можем
найти непрерывную траекторию в пространстве элементов с краевыми точками
8 и g'.
Согласно предыдущим замечаниям, легко увидеть, используя лемму Хейнэ-
Бореля, что это эквивалентно следующему условию: соответственно g и g'
являются элементами в г и z' функций f и f', голоморфных в полидисках S и
S' с центром в точках z и г', и мы можем найти конечную
последовательность полидисков Si, S2,..., Sn и функций fu..., fur, таких,
что:
1) S = S1( f=fb S' = SN, f = fN ;
2) fj голоморфна в Sy- (1
3) Sj П S/+1 ф Ф и fj = fj-i-i в Sj f] S/+1,
Множество всех элементов, порождаемых одним элементом функции,
голоморфной в области пространства О, определяет "область регулярности"
этой функции. Как и в случае одной переменной, эта область регулярности,
вообще говоря, не является однолистной. Она не может быть, однако,
наиболее общим комплексным многообразием, поскольку, как мы уже видели,
всегда существует локальный гомеоморфизм этой области на область в Сп:
она является римановой областью.
Определение
Римановой областью над областью Q пространства Сп является пара (Е, я),
состоящая из связного ха-усдорфова топологического пространства Е и
локального
144
гомеоморфизма я пространства Ё на ?2; кроме того, требуется, чтобы Е было
счетным объединением компактных множеств и чтобы аналитические функции на
(Е, я) отделяли точки пространства Е.
Аналитическая функция / на (Е, я) представляет собой по определению
комплексную функцию на Е, такую, что для каждого открытого множества
WczE, такого, что n\W является гомеоморфизмом W на я(W), функция
fo(rtflF)-1 аналитична Bn(f).
Принцип максимума
Пусть В - относительно компактная подобласть аналитического многообразия,
/-функция, аналитическая в В а непрерывная в В. Точка / принимает
максимальное значение на границе:
max/(z)= шах / (г).
гев zed В
Если f достигает максимума в точке области В, то она постоянна.
Эта важная теорема доказана здесь не будет. Доказательство, по существу,
не отличается от доказательства для случая одной комплексной переменной
(см., например, [22]).
§ 2. Одновременное аналитическое продолжение и оболочки голоморфности
Обозначим S(z, г) полнднск {z': |z~.- 2j|<r, 1 ^ в Сп. Нам нужны
некоторые определения относительно римановых областей. Пусть (Е, я) -
риманова область, ге?. Существует г>0, такое, что я отобра-
/ч
жает гомеоморфно открытую окрестность точки z на
/ч
5(я(г), г). Эту окрестность обозначим S(z, г):
S(z, г) = я-1 (5 (я (z), /•)).
Наименьшая верхняя грань действительных чисел г>0,
для которых это имеет место, обозначим dist(z, дЕ). Отметим, что если (Е,
я) область в Сп, то
dist(z, d?) = supr. .
S (?, r)CB
145
Примем также обозначение S(2, г) аЁ для произвольной римановой области
как выражение того, что
"А,
5(z, г) определено, т. е. r^dist(2, дЕ). Если / голоморфна на (Е, я), то
кГожно найти Daf следующим образом:
0"/(;)= .aWf(,-40)
ас?' • • • К"
(Z)
Легко проверить, что Z)"/(z) также голоморфная функция на (Е, я) и что
все алгебраические свойства дифференцирования остаются в силе.
А л
Функция от 2, определяемая выражением dist(гг, dE), непрерывна и поэтому
достигает минимального значения на любом_ компактном подмножестве области
Е. Если AczE и А - компактное подмножество области Е, то Л(r)5 Е и
dist (Л, дЕ) = inf dist (z, дЕ) = min dist (г, дЕ) > 0.
геЛ гел
Имеем
dist (Л, дЕ) = max г
VzeAS (г, г)СЕ
Для любого р sadist (Л, дЕ) мы можем определить ЛР=иЗ(г, р).
Из A(gE, p<dist^, дЕ) следует, что A9<gzE, т. е. что Яр представляет
собой компактное подмножество области Е. Действительно, пусть е>0- число,
для которого р 4-е < dist (Л, дЕ).
Тогда существует конечное подмножество {2 множества Л, такое, что
Ad\JS(zj, е).
№
Отсюда следует, что
^pCU%P + 8),
т
т. е. Яе содержится в конечном объединении компактных подмножеств области
Е.
146
Для любого A и каждой непрерывной функции на А мы обозначим
= sup | / (г)| = шах | /(г)|.
геХ
Определение: классы голоморфных функций. Множество <гГ голоморфных
функций в римановой области будет называться классом, если из /ееГ
следует, что а/р^еТ" и Z>fee7" для любого комплексного числа а, любого
целого числа р^0 и любого мультииндекса а.
Лемма Картана - Туплена
Пусть <гГ- класс функций, голоморфных в римановой области (Е, я); пусть Е
