Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
оркестра.
Можно доказать также следующее более общее утверждение (см. работу [20]).
Пусть S - ячейка
?ч
(5еЕпц) и Es - множество всех конусов КеВп+ь ко-
торые содержат S. Для каждого En+i обозначим Тк
связанное с К дерево и К - элементарный носитель, соответствующий Тк-
Тогда
supp гДх) С U
КеЕ,
Отсюда следует, что внутренность конуса, дуального к носителю г в,
содержит конус Т8= {q : qx^ ^ Н, если 53Sjc>0, и что Н8 и Н'8 голоморфны
в трубе &8, как это было сформулировано выше (см. гл. 2 и 3.
Дополнительные замечания будут даны в гл. 3).
140
§ 3. Связь с Г-произведениями
Можно показать [16], что rs(p) совпадает с преобразованием Фурье
вакуумного среднего Г-произведения для вещественных р, удовлетворяющих
р <^sS= {р'-Рх Sдля S^Sjc^O}.
Вакуумное среднее Г-произведения является функцией, соответствующей циклу
2(я, >), т. е.
ТС
2П9Й(*_" - (Я, Ало (хя0), . . .,Ат (хяп) Q).
я 4=1
Такое же свойство имеет место для регуляризованных полей. Это
устанавливает связь между редукционными формулами для о. з. ф. и для Г-
произведений.
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В настоящей главе мы дадим весьма неполный анализ наиболее часто
употребляемых в теории поля свойств голоморфных функций многих
комплексных переменных. Более полное изложение этого предмета и, в
частности, доказательства читатель может найти, например, в лекции
Вайтмана [4] и в работах [21-26] и т. д.
§ 1. Общие свойства
Пусть z->f(z)-комплексная функция, определяемая на открытом подмножестве
Q пространства Сп. Следующие свойства оказываются эквивалентными:
1) / имеет непрерывные производные первого порядка по Xi, yi и
удовлетворяет уравнениям Коши - Рнмана
+ 1= 0 (/ < ; < п)\
dxj dtj]
2) f непрерывна и задается формулой Коши в любом полидиске с замыканием,
содержащимся в Q:
/W-, (2.1)
Состов П (*/'- Z/)
м
141
3) для каждой zgQ существует окрестность этой точки, в которой f равна
сумме абсолютно и равномерно сходящегося степенного ряда:
/(2)= (2-1)".
(2.2)
[Мы употребляем обозначения Шварца [6] для мультииндексов:
а = [аи . . . , а") (последовательность целых чисел),
Если функция / обладает свойствами 1), 2) или 3), то говорим, что она
голоморфна или аналитична в й. Такие функции являются функциями класса
С00 в их области определения. В любом полидиске с замыканием,
содержащимся в области определения, их производные задаются формулой
Кроме того, коэффициенты в формуле (2.2) определяются соотношением
Пусть функция f голоморфна в области Йс:Сп и
г=ей. Степенной ряд (2.2) может сходиться в некотором полидиске, не
содержащемся в Й. Если пересечение этого полидиска с Й не связано, то
вообще старое и новое значения этой функции могут не совпадать друг с
другом. Однако мы можем воспользоваться принципом аналитического
продолжения.
(2.3)
(2.4)
Аналитическое продолжение
142
Если функция f, голоморфная в оЬласти й пространства Сп, равна нулю в
открытом подмножестве множества й, то она равна нулю и в й.
Этот принцип может быть также сформулирован следующим образом: если fi и
/г голоморфны в двух областях fii и Йг соответственно и совпадают друг с
другом В окрестности точки г^Й1 П Й2, то они совпадают друг с другом в
связной компоненте Qi f) &2. содержащей z. Отсюда вытекает следствие.
Пусть {?ij}j^j-семейство областей в Сп, таких, что пересечения Qjf\Qh
всегда пусты или связны для всех /, k. Пусть {f3} j е j~- семейство
функций, причем /3- определена и голоморфна в й3. Допустим, что всякий
раз, когда пересечение й3 П Й/^Ф, оно содержит открытое подмножество, в
котором fj = fh- Тогда существует функция /, голоморфная в й= (J й3,
которая совпадает с /3
j^J
в Й3 для всех /.
Точное изложение теории аналитического продолжения требует понятия
элемента аналитической функции в точке.
Элемент аналитической функции в точке zeCre представляет собой класс
эквивалентности, состоящий из пар (U, f), где U - открытая окрестность
точки z, a f голоморфна в U. Две такие пары эквивалентны, если существует
окрестность W точки г, такая, что Wc:U ft V и что f и q совпадают друг с
другом в W.
Пусть Ш (й)-множество элементов аналитических функций в точках й.
Поскольку каждый элемент этого множества представляет собой элемент
аналитической функции в некоторой точке z, то мы можем определить
отображение я:g-*-z множества й) на й, сопоставляющее каждому элементу g
точку z области й, в которой задан этот элемент. Топология на Ш (П)
определяется следующим образом: каждой паре (V, f) в классе
эквивалентности, определяющем элемент g с я (g)=z, сопоставляется
открытая окрестность этого элемента; эта окрестность определяется как
множество элементов аналитической функции f в точках множества U. С этой
топологией я представляет собой локальный гомеоморфизм Щ (й) на й, как
это можно проверить. Для того чтобы понять сущность этой топологии,
рассмотрим непрерывную траекторию, т. е. непрерывное отображение t-+g(t)
интервала [0, 1] в Ш (й). По
143
