Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
рассуждениям, приведенным относительно Ж (А), можно убедиться в том, что
Жв(А) является областью в С4п, инвариантной относительно L(C),
звездообразной относительно 0 и содержащей 0.
Проблема нахождения Ж*{А) или Ж(А) называется линейной программой, так
как не используется условие унитарности. Приведенные рассуждения
показывают, что линейная программа никогда, не приводит к нескольким
римановым листам: они являются типичными результатами использования
условия унитарности. Некоторые результаты, полученные до сих пор в
линейной программе, можно найти в работах [2, 3, 41-51] и т. д.
Изложенные в настоящей главе свойства четырехточечной функции взяты почти
полностью из работ [52, 53].
188
Из общих свойств Ж{А) отметим то свойство, что Ш (А) не пересекается с
"разрезами" Г*, определяемыми следующим образом:
Гх = [k'kx -f- i?+j =
= {k:k2x = M2 + p, р > 0} = ГСх
для каждого непустого Ясг{0, 1, 2,..., п} с непустым дополнением.
Действительно, для каждого р^О функция
-Мх - р не обращается в нуль в А и не может обращаться в нуль в Ж (А). То
же самое справедливо и для Жа(А) (функция kl-Ml-р)-1 голоморфна в А и
удовлетворяет штейнмановским тождествам.
Многообразие {k\k2-m2} (для фиксированного /') не пересекается ни с одной
из труб ?TS (оно не пересекается с А); массовая оболочка {k:k2-m2,
О^/'^п} не пересекается с Д. Мы увидим, что она пересекается и с Ж (А).
Ограничение функции H(k) на массовую оболочку дает аналитические
продолжения амплитуд реакций (элементы 5-матрицы). Поэтому желательно
знать пересечение Ж(А) илие7?ДА) с массовой оболочкой.
§ 3. Две леммы об аналитическом расширении
Мы возвращаемся к случаю четырехточечиой функции и применяем следующие
леммы.
Лемма 3.1. Пусть / - функция, голоморфная в области
{R12 + i Tt) U {Яи + iToll U ["(Л) Г) {*" +
+ i +
где 31 (afti) - открытая связная (комплексная) окрестность вещественных
точек = {р : pt<M2}. Сущест-
вует функция, голоморфная в области
[Ru -f- i "JPf + i Toi} U СГ2 =
~{k = p + iq:qert + rt,
которая совпадает с / в i?12+i 'Vti-
199
Выпуклая оболочка Tt +Тш множества To'UTio задается следующим
параметрическим представлением:
<7х = Qi Q0>
<72= Q2 + Qo, Qj G V+ (0 <; у <! 3),
. Рз - Qs + Qo-
Лемма 3.2. Пусть / - функция, голоморфная в области
{Я12 + i Tti] U (#12 + i Гт\ U (Si (Я12) П (R12 + iTti +
+ \УЯ),
где 91 (Ш12) - комплексная связная открытая окрестность вещественных
точек в <^12= {р :(pi+P2)2<M?2j-Тогда существует функция g, голоморфная в
области
i^M-iToVf iTall ПСГ12-
- {k-p + iq-.q^Tti +ГГ2, (h + hy^M^ + R(tm)].
Выпуклой оболочкой Т'т+Т'32 множества T'oiUT'32 является
К* {p'-(]iGcV>~, <72 G cV>''r, <7i + <7sG cV~^\'
Доказательства лемм 3.1 и 3.2 могут быть найдены в работе [52], поэтому
здесь не приводятся. Из этих двух лемм мы заключаем, что если S' и S"
являются двумя соседними ячейками с общей поверхностью в {s:s.r = 0}, то
Ж (А) содержит {g7''s4-g7's''Jf)С Г*- выпуклую оболочку объединения двух
труб и aTs", за исключением точек разреза Tx={k:k\=Ml + р, р^О}. Это
заключение справедливо также в случае я-точечной функции.
Мы можем также пользоваться леммой 3.1 и результатами гл.. 3, § 2, для
того, чтобы найти подобласти Ж*{А). Функции Ф1 И Фз голоморфны в
#12 + #i° = \k = р + iq-qi G <7зG ^+, <7i + Q2G V~], #12 + Кз = (k = p -
f- iq: <7o G , <72 G V+> <7i + <72 G )
соответственно и обладают граничными значениями, которые совпадают друг с
другом при {р\ + Р2)2<Мл2-
190
Вводя переменные k[ = k\ + k2, k2 =-ku -k3, мы на-
ходим, что
k Е Rn + Kl° ^k'E R12 + rt\ kER12 hKl°-,k'ER12 + Ttu
<7= 0> (Pi 4' P2)2 <Ml2 q' = 0, k\2 < M2\2-
Применяя лемму 3.1 и возвращаясь к исходным переменным, мы находим, что
Ф[ и Ф2 имеют общее аналитическое продолжение в
ir12+в,о] п сг12, (c)10=к?+к;°=к?+к?.
Эю имеет следующее параметрическое представление:
<7о - - (Qi + Qs), qi = - (Qo "b Qi) 1 Qj €: V-*-" 0 <; j -< 3, <72 = Qi
+ Q2, ps - Qo + Qs-
Аналогично Ф2 и Ф4 имеет аналитическое продолжение
в {/?12+i 0ю} П С Г13. Поэтому функции #01, #io, Щъ (каждая из них
является суммой двух функций Ф3) имеют общее аналитическое продолжение в
{7?12+10ю}П П{СГ12иСГ13}. Аналогичные результаты справедливы, очевидно,
для каждого из шести штейнмановских квартетов.
§ 4. Аналитичность вблизи физических точек
Покажем, пользуясь результатами гл. 2, § 3, что Ж {А) содержит
разрезанные окрестности всех вещественных физических точек [т. е. Ж(А)
содержит все комплексные точки в малом шаре вокруг вещественной
физической точки, за исключением точек, принадлежащих разрезу Г,*].
?S /S /ч /Ч /V .-ч
Пусть р - вещественная точка р-{ро, р\, pz, рз}. удовлетворяющая
следующим неравенствам:
р2< Mj (0<у<3); (Pi+p3)2<M[3; (Pi-[-Po)2<C^o •
191
Если (pi + рг) <М\2, то р принадлежит^, т. е. Д. Пусть
Л> /ч "-Ч "-Ч Л
(pi+P2)2^Ml2 и pi+p2^V+. Точка р тогда принадлежит ЛоП&ПЛПЛ,ПЛ1,-ПЛго ,
где в частности, граничные значения функции H{k), рассматриваемые как
пределы
из труб^Й и ^32 (соответственно*^ и Тзг), совпадают друг с другом. В силу
