Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
существенно более слабой формой теоремы, а именно следующей леммой.
Лемма 3.4. Пусть а и b принадлежат С" и D - область в Ст и Д(ш)
обозначает "диск" в Сп+т, определяемый следующим образом:
Д (w) - {(z, ?): z е= Ся; ?eC"; г - а +
4-wb\ aieC).
Пусть й- область голоморфности, содержащая Д (w) для всех w, лежащих в
полукруге
{w : Im w > 0, | w | < p}.
Если й содержит одну точку из а = 0, то она содержит Д (0).
Доказательство. Не теряя общность, можем положить о = 0. Точку из Д(0),
содержащуюся в й по предположению, будем выбирать в качестве начала
координат.
Докажем теорему прежде всего в случае, когда D - полидиск {?=(Сь..., ?m):
|E*|<l(l</<")}- Тогда
достаточно показать, что любая функция, голоморфная в области вида
(w, Е : > 0, IИУI < а; |?у| < 1, 1 < / < tn] (J
и К ? : Iw I < а; I | < е, 1 < j <tn],
голоморфна в окрестности множества
[w, Е : w - 0, | lj | < 1, 1 < / < m\.
Введем переменные
г / , • г 1 a + w .. w'
w -и + W = lg , w - oth --,
а - w 2
Б/ = Б/ + ill/ = - i lg?y, ?/ = е1'1 (К/< tn) и определим
ФК, Б') = / (ath--^-(elc*____________ eKnt)).
196
Функция ф(а/, ?') голоморфна в трубе
р, Е':0<о'<-|-, г)' < 0 (1 < / < m)| (J 1){яЛ I' : -ТЬ'<18е(1</<т)}
и периодична: ф(го', ?'+2яг) = ф(го', ?') для любого ге 1т (т. е.
г=(г\,..., гт) с положительными или отрицательными г*, 1^/^т). Функция ф
имеет аналитическое продолжение в выпуклой оболочке В' этой трубы. Это
продолжение периодично. Поэтому оно представляет собой голоморфную
функцию
w = о th ~ и ? (?f = е,с0
в образе В по последним переменным области В', которая продолжает f(w,
?). Область В содержит {w, ?:0< <|Ы<1, w-О}. С другой стороны, функция f
уже ана-литична в {w, ? : w-0, |?3|<е}, так.что в силу теоремы о
непрерывности она аналитична в {w, t,:w = 0, |?j|< что и требовалось
доказать.
Для того чтобы доказать лемму для общей области D, мы можем покрывать D
при помощи конечной цепи полидисков.
Лемма интересна тем, что, поскольку она основывается на теореме о
выпуклом конусе и поэтому в принципе может быть доказана при помощи
формулы Коши для компактного контура, она более пригодна для оценки
проведения аналитического продолжения (на бесконечности или вблизи
границ), чем теорема 3.3.
Теперь возвращаемся к доказательству леммы 3.1, которое мы завершили
посредством применения следующей леммы.
Лемма 3.5. Пусть й- область в комплексном импульсном пространстве, такая,
что для каждого вещественного t пересечение области й с {k:(ki+k2)2=0
либо пусто, либо связно. Пусть Е - область голоморфности, содержащая й П
{k: Im(&i + ?2)2=^0}. Допустим, что
содержит одну точку k, для которой (ki + k2)z= = t^R. Тогда Е содержит ЙП
{& : (&1 + &2)2=0-
Доказательство. Случай t=?0: мы допустим сначала, что область й такая,
что существуют функции zu Z2,..., Z\2, голоморфные В й, ДЛЯ которых
Z\=(k\ + k2)2-t и
197
к-+г= (zZ]2) биголоморфное отображение области й на полидиск
[z: |z;Kp, 1 </< 12},
"<¦¦4
причем образом k является 0. Теперь мы применяем лемму 3.2 с
A(w) = (z = (zu . . г12): гг = w, | zy| < р}
и находим, что Е П й содержит множество й П {&:(&] + + &2)2 = 0> которое
является образом области А(0).
В общем случае каждая точка в ЙП {k :(&i + &2)2=0
может быть связана с k через конечную цепь подобластей
{Й(Г) }l<r"JV
области й, каждая из которых содержит точку №г\ такую, что (k\r) + k2r))2
= t и что
а) е= Й('-'> П Й(Г) (1 < г < N)\ *"> = '?;
б) существуют координаты z\r) , определяемые в й(г>, которые отображают
биголоморфно эту область на
iz(r) : | z\r) I < Рг> 1</< 12}.
причем образом &W является 0;
в) zjr) - (&J + k2)2 - t.
Пользуясь полученным результатом, мы можем показать индуктивно, что йП?
содержит Й<г> П : (^1 -+-+ k2)2=t}c:E', если это верно для некоторого г,
то
fe(r+i)e? и поэтому й(г+1> П {k :(ki + k2)2=t}czE в силу утверждений в
а).
Случай t = 0: из предыдущего случая, f#0, мы заключаем, что ЙП {&: (&i +
?2)2 -0} имеет открытую окрестность W в й, для которой W П {k
:(ki+k2)2=?Q}c:E. На основе теоремы о непрерывности мы имеем WczE.
Эту лемму, очевидно, можно обобщить, если заменить аналитическое
многообразие (ki + k2)z=t другими аналитическими многообразиями {k
:f(k)=t} (где функ-
198
ции f голоморфны) и, в частности, заменить его многообразиями вида {k :
kl=t} (Лс:{0, 2, 3}).
При помощи методов, аналогичных методам, применяемым при доказательстве
леммы 3.1, мы можем доказать следующую лемму (см. [52]).
"<¦¦4
Лемма 3.6. Для каждой вещественной точки р, та-
/'*2 2 / 2 кой, что р <М/ и (р\ + ро)г<Мю, существует число
г'(р), такое, что §%S(A) содержит открытое множество
{k:\\p~p\\<r'(p), \\q\\<r'(p), 6е?Г12иГ13}.
Леммы 3.3 и 3.6, очевидно, остаются справедливыми, если сделаем
перестановку индексов 0, 1, 2, 3.
Обозначения для инвариантных переменных. С настоящего момента мы будем
пользоваться следующими (обычными) обозначениями для инвариантных
переменных нашей задачи:
s = (ki -f- k2)2 - (k0 + k3f\ t - {ki -f- kzf = (ka --j- k2)2; и = (k2 -
