Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
{(Яр я'2): || я' - я|| < р (я), 1ш (я' + я')2 ф 0}
(где р(я)>0) и для каждого вещественного (яь я2), удовлетворяющих (3.9),
существует подобласть области Ш{A)n^ вида
{(я,', я2) : || я' - я || < р (я), Im (я' + я2)2 ф 0}, где р(я) >0.
г. Ш(А)ПУ3 инвариантна относительно таких преобразований Лоренца в
L(C), которые оставляют инвариантным У3.
Новые переменные
Удобно работать со световым конусом или характеристическими координатами.
Обозначим:
Uj = я? + я>; Vj = я" - я'; (j = 1,2)
tl± ~ U\ i U2\ V~ Vx ^ Ц2.
Преобразование Лоренца в L+(C), оставляющее У3 инвариантным, задается
согласно
Uj -*¦ luf, Vj -> ~ Vj (j = 1,2),
где Хф0 - комплексное число. Когда к вещественно, то получаем
преобразование в L+, если Х>0, и в L+, если КО. У1 также инвариантно
относительно отражения
я" -* я", я1. -) я1. (/ = 1,2)
1 1 1 14 ' '
или в переменных Uj, Vj
Uj->Vj, Vj-+Uj (/= 1,2).
Будем пользоваться также следующим множеством переменных в У3:
' гх = я2 = uxvx, г2 = я2 = u2v2,
Переменные zu z2, z3 являются инвариантными переменными (которые можно
выразить через s, t, и, ?j; эта связь в явном виде будет дана ниже),
определенными и голоморфными везде наТ*. а является параметром
преобразования Лоренца; обратное преобразование приводит ni в вектор,
параллельный оси с индексом 0. Он определяется только в области
{я : UjV&R-},
где R- - множество вещественных отрицательных чисел, или в У-ff, где ^ -
разрез: {я : UiV\<=R~}.
В этой области мы будем определять У таким образом, чтобы его
вещественная часть была положи-
V Mit'i
тельной и а = 1-- = .
vi v\
Решая (3.11) по отношению к Uj, V; (/= 1, 2), мы находим Ui=YZ\a, vL= ,
UiV2 + u2Vi=z3-Zi- z2,
a
(U2Vt - UjVif = (23 - Zi - 2a)2 - 4Zi, Z2 - X(Zlt 22, Z3), так что,
полагая У X{zu z2, z3)=u2Vi- щу2, получим "г = [г3-г1 - г2-{-
УХ(2Ь 2a, 23)],
Щ = 1*7?! ~ Zl " 4 ~ Vя (2Ь 22. 2з)].
Отметим, что %(z\, z2, z3)-симметричный полином по Zu z2, z3, который
равен (-f)~'Q(s, t, и, ?,) в У.
Множество переменных zu z2, _z3, а будет использовано только на у'=у-где
У Z\ будет определяться так, чтобы его вещественная часть была
положительной (УZi= YuiVi). Однако эти переменные не определяют
биголоморфное отображение в У, так как функция У Цги z2, z3) неголоморфна
в образе области У*' (она имеет многообразие разветвления). Эта трудность
может быть преодолена следующим образом.
Отметим прежде всего, что открытое подмножество Щ (к)П(У-) множества (У-
W) инвариантно отно-
8 Зак. 954
209
сительно отображения т:
т{"1, ии и2, v2) = \иъ vu - ы2|
I "х J
(которое получается объединением двух отображений:
Uj -*¦ - ир Vj (/ = 1,2)
У J 1 Vi J *
И Ur*-(/=1, 2)).
Отображение т биголоморфно Btf3, - f3-gf. Мы можем пользоваться в1^'
координатами: щ, иь z4, zs, где z4 = "2^1 + "1^2, Zb = u2v\ - u.\V2
(якобиан этого преобразования равен 2u\V\). Относительно этих переменных
т имеет вид
Г = ("ь оь г4, z5) -> ("1, vu z4, - zj.
Пусть X - подобласть области "IF', инвариантная относительно
преобразований Лоренца и отражений, оставляющих "JF инвариантной. Тогда X
инвариантна относительно т. Пусть функция f(uit v\, и2, v2) = = §(иь "ii
z4, Z5) голоморфна в X. Функция
g(Ul, Ox, Zi, z5) - g(uu vlt zv - zb)
голоморфна в X и равна нулю при г5=0. Поэтому в окрестности каждой точки
в X и, следовательно, везде в X эта функция может быть написана как
Zbh\(uu vu Zi, z5), где функция h голоморфна в X. Более того, функция
h\(uu Vu z4, Z5) четна по Z5 так же, как функция h2(uu vu z4, z5)=g(uu vu
z4, z5)+ +§¦("1. on z4, z5). Поэтому hi и h2 являются функциями от U\,
vlt z4 и 2§в X. Наконец,
f(Ui, Vi, "2, o2) = (u2 Vi - UiV2)F-i{Zi, z2, z3, a) +
+ F2(Zi, z2, Za, a), (3.12)
где функции Fi и F2 голоморфны по переменным zu z2, z3, а в образе
области X в пространстве этих переменных. Мы назовем еГ отображение
§Г :T^-C3:(ul, vu щ, o2)-*-(zx, z2, z3)
210
и % - отображение
? :Т' -* С4(Mi, vu м2> v2) -*¦ (Zi, z8, z3, a),
определяемые формулами (3.11).
В силу лоренд-инвариантности области X мы имеем
Ж(Х) = ^(Х)- {a:a=?0}.
Если (мь v\, Мг, и2)^Х и а0= , то точка (Рмь
Р-1оь рнг, (Ног) соответствует тем же значениям zb Z2, z3 и значению рао
переменной а.
Функции F\ и F2 могут быть аналитически продолжены в любую область вида
У'Х{а:а^0}, где У' является аналитическим продолжением еГ (*), и в силу
формулы (6) функция / может быть продолжена в
А - г5
§T~l(Y'). (Замечание: формулы Z\ - UiV\, z2=---------;
4uiVi
Z3 - Z2 - z\ = zi показывают, что отображение еГ открыто в У1'.)
Короче говоря, мы имеем следующий рецепт: пусть X - область (не
обязательно инвариантная относительно преобразований Лоренца и отражений)
в А).
Для того чтобы получить аналитическое продолжение области X в "IF',
достаточно:
1) взять образ области X в пространстве переменных гь г2, z3;
2) найти расширение У' этого образа в С3;
3) взять прообраз еГ_1(У'), который является расширением области X в "V ¦
Следующий параграф посвящается изучению соответствующих областей л.
