Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
условиях леммы имеют я^О. Если Я2=ряь то я2 =р2Я1, Я1Я2=ря1 • Каждое из
этих условий означает, что р2я? <0, 1тря1 >0 и Irwii =0. Поэтому р2
должно быть действительным и иметь недействительный квадратичный корень:
р2<0, p = i|p|, я2 >0. Итак, (яь я2) может удовлетворять только условию:
я2=1|р|яь "i = Ui>0, Ipl^O. Мы предлагаем читателям проверить, что
открыто в такой точке. (При помощи соответствующей замены переменных
задача- сводится к проверке того, что отображение ?i-vA,2(A,eC) открыто в
точке А,=0. Переменная к соответствует И1П2-U2V[.)
315
Вследствие сформулированного утверждения множество §Г (зе (А) П У)
содержит некоторую открытую связную окрестность F^. Устраняя разрез С, мы
получаем следующую лемму.
Лемма 3.9. еГ ($?(A) С\У) содержит область Gt вида
Gi =. {(z1( 2^, Zg): I Zj - Zj I <C 8 (Zu Z2, Z3) (1 < j <! 3);
(Zu Z2, Z3)^Fi, Zi$zR~},
которая может быть получена устранением разреза ?Г(С) из открытой связной
окрестности множества
Fi = {(z1( Z2, z3): zx действительно < ЙЛ?; z2 действительно < 0, Imz8 >
0}.
Почти все указанные выше точки содержатся в первоначальной области
аналитичности. Мы осуществим теперь первое нетривиальное аналитическое
решение при помощи представления Поста - Лемана-Дайсона в (фактически
вблизи) подмногообразии многообразия У, полученном приравниванием
"полного импульса" ki + ki вещественному физическому значению. Это будет
подробно объяснено ниже.
Для каждого вещественного о мы обозначим Ха (линейное) подмногообразие
многообразия У , определяемое как
Ха - {я : и+ = а, о+ = о}.
Напомним, что я=(яь я2), и±=щ±и2, v±=v]±v2 и
Uj=n°) +я), Vj =3tj-я). Многообразие Ха получается, если положить Я? +
Я2=(Т, я1 + Я2=0. Переменные и~ и v~ могут быть использованы как коор
динаты в комплексном многообразии Ха-
Пусть iTa-трубы в Ха, определяемые как
$Га = : 1ши~ >0, Im у~>0} = - е7Т>
21Q
и пусть аНа - открытое вещественное множество, определяемое следующим
образом:
Sic = |яе Хс : Jif = -j- (иг + а) (гг- -f а) < ЯП?; п! = - и~)(о - гг-
) < (ях - Яг)2 =
= U~V-< fflifoj.
Sic . очевидно, не пусто, так как оно содержит все точки, для которых
u~v~ достаточно большое и отрицательное; Sic является пересечением ?а с
множеством точек, удовлетворяющих (3.7) или (3.9) (гл. 3, § 5). Поэтому
5Ra = 9l("/0, и8)П.?0 является открытой окрестностью множества Sic в кс •
Обозначим ЗЬс область Поста - Лемана - Дайсона, соответствующую трубам
S'о и области совпадения Sic¦ Эта область является оболочкой
голоморфности класса всех функций, голоморфных в S't\J^o и в окрестности
множества Sic (см. лекции Хеппа в настоящем сборнике; а также [4, 55-57];
в последней работе содержится доказательство сформулированного
утверждения). Мы обращаем внимание на случай сг>0.
Вообще говоря, множества ?Г% и 91а не содержатся в Ш (А), так как (для
больших а>0) они содержатся в Г12- Однако для каждой точки я множества
еГо U!R0 существует число р(я)>0, такое, что
{я' : | и'~ - и-12 + | v'~ - о-12 < р (я)3;
|м'+ - а р + | v + - о |3 < р (я)2;
Im и'+ > 0, Im &+ > 0} аШ (A) (YP
(условия 1ты'+>0,1то/+>0означают1т(я1+я2)еУ+).
Общее свойство оболочек голоморфности, которое может быть проверено
непосредственно в случае области
?ч
ЗЬс (см. [56]) следующее: для каждой точки яе 3)с
217
существует относительно компактное открытое множе-
ство /С*, такое, что K*Cjr+\)irи что я^Щ(К^- оболочка голоморфности
множества К~. Так как может быть накрыто конечным множеством открытых
множеств вида
{п'еХа: | ы"- - ы~ |3 +1 о'-- о-13 < р(я)3},
л
(где яе/(.? ), то мы можем найти число р(я), такое, что {я' : и' = иv'~ =
о~;|г/+ - о|3 + К+ - о|2<р(я)2,
Imи'+ > 0, Imv'+ > 0, я<=К\ С§?(А) С\Т.
Так как здесь имеем топологическое произведение, то его оболочка
голоморфности получается заменой на
W*):
{я' : и'~ = иг\ v'~ = о-; | и'+ - о |3 + | v'+ - о |3 < р (я)2, 1ти >0,
1т о >0}.
Отсюда следует, как это можно показать, чтое7"(е5?(А) П П^) содержит
открытое множество вида
3 хч хч ~
{Zi, z2, Za, 2 Iг, - z;|<r(z),lmz3>0}, r(z)>0,
/=i
где мы обозначили еГ (я)="(2ь z2, z3) и z3="+o+=o2.
Обратим теперь внимание на случай о> -f когда Ма множество вещественных
точек в Ха удовлетворяющих условиям
| (и- 4" о) (о- 4" о) 4 Ш1|,
[ (иг - о) (и~ - а) < 4 9Кг-
Это множество ограничивается двумя ветвями гиперболы
| (и~ 4- о) (v~ + а) = 4Ш1?, (и~ + а) > 0,
\ (иг - а) (о- - а) = 4SK?, (иг - о) < 0.
Отметим, что для точек в Ха, удовлетворяющих я?-я1 ==pi-цг (т. е. точек
из ХаПЖ), имеем
Y (и+и- + u-v+) = р2 - р2,
218
2 (3.20)
(3-21)
а(и~ + v~) = 2(р? - pj)- (3.22)
В многообразии %aV\W мы можем выбрать в качестве переменной величину
*= (х = л\ -я').
В Ха П W, г связано с х соотношением
2= -д* -Ног* - 2(р? + р|) ф. (3.23)
Хорошо известно, что За является дополнением множества всех комплексных
точек всех "допустимых гипербол". Эти гиперболы удовлетворяют уравнениям
вида
{яе#а, я}-п\ - х; я^ - я2 = Л;
(h - р)3 - {х - |)3 - if* - 0} (I, р, г} действительны)
