Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
+ kz) фиксированному вещественному четырехмерному вектору, обозначаемому
(Pi + Яз):
[к-.(к, + *в) = {Pi + Р*)}-
На этом многообразии мы имеем также (&о+к2) = (Р\ + Рз) ¦
Можно выбрать в качестве независимых переменных на этом многообразии
(компоненты) k\ и k2 (отметим, что <7з=-Qi и qo--<72 на рассматриваемом
многообразии).
Лемма 3.7. Если (Р1+Рз)2=^<м\з [(Pi + Рз)- вещественный четырехмерный
вектор], то пересечение области Ш, (А) с многообразием {k : k\ +&з=Р1 +
Рз} содержит следующие восемь труб:
± [k : ki -f- k3 = Pi -f- Pi, qi -f- q3^V+, qi^V~},
± [k : ki -f- kz = Pi -f- Рз, qi^.V+, qv - q2^V~},
±{k : k1 + ki = P1 + Ps; qx - q2eV+, q2?EV+],
± [k : kx + кг = -f- Ps; q2^V~, qг + q2s=V+).
203
Доказательство. Определенные выше трубы лежат на границах труб ?TS в Д.
Лемма является следствием лемм
3.1 и 3.2 (и соответствующих лемм с перестановками индексов) в гл. 3, §
3. Можно дать независимое доказательство, применив леммы 3.4 следующим
образом:
/\ /S л
пусть k=p+\q - точка первой трубы в многообразии:
k\+kz=P\+Ps, q\ + q^V+, q\^V~. Пусть Д(w) обозначает диск
Д (w) = \k - р + Хд + we, Im ? > 0),
где ееТ°ш. Для 1шку>0, Д(щ)с=о^(Д) (так как q= = Im ?<7+Im wдля каждого
&еД(щ). сЙ?(Д) содержит все точки, достаточно близкие к р и имеющие
мнимые части в Ttx + Тгз (так как (Д1+Д3) <Мц). Среди этих точек имеются
точки области Д(0), для которых |?| достаточно мало. Поэтому лемма 3.4
применима
и Д (0) с=е/?(Д). В частности, kczc%(A), что и требовалось доказать.
Доказательство для других труб аналогично.
Многообразие 'V0
Фактически мы будем работать с (линейным) многообразием меньшей
размерности, обозначаемым у3 и определяемым следующим образом:
1. Четвертые компоненты k3j всех векторов kj(0^. ^/^3) фиксированы и
равны нулю.
2. &1+&з=Л+Рз - фиксированный вещественный пространственноподобный
четырехмерный вектор, взятый вдоль третьей оси координат, т. е.
k°i k^ - - (&2 4~ ко) = 0;
к\ 4- - - (к\ -f- ho) - 0,
(k1 + k3f = (P1 + Paf = t<0-,
{ki -f- &3) = - (&2 4~ ко) = (0, 0, V t, 0).
204
Отметим формулы (справедливы везде в импульсном пространстве):
(К + h) к, = -L [(k, + hf + {k,f - (*з)2] = y(' + ?i-Ев);
(^i "Ь h) h - - (t -f- Ез - Ei)i (^i -t- h) ki =
== -- (t -f- ?2 - Eo);
(*i + *b)*o = --5-<* + ?o-Eb).
Из них следует, что точкам в соответствуют ki = Пх, -2 + Ei Ез),
0;
кз - - л1, - 2 y~t
к^ = 3X3, g ^^ ~ Ео), О,
к<,--л2" " ,-- ¦ "Ь Ео Ег), 0
А t
(ni и jt2 являются двухкомпонентными комплексными векторами).
3. Наконец, третьи компоненты всех векторов &3(0^ ^/^3) будут
приравнены некоторым постоянным. Для этого зафиксируем ?з- Ei и Ег - Ео-
Так как в конце концов нас интересуют точки массовой оболочки, мы должны
положить 1з-h = ml -mf
и Е2 - Eo=m2 - ml.
Таким образом, Т* является многообразием всех точек k в комплексном
пространстве, имеющих вид:
?i = ni, - 2у~ (t + m* -m2), 0;
*2 = п2, ¦¦ ¦ != (t + т\ - ml), 0;
су* * V - t
k3 = -m, - -- (t + m23 - mf), 0;
*0 = - я,, 2y-t-(*+ *"<} - m\), 0,
205
где ni = ni, я! и пг= (пг, Jtl) являются комплексными двумерными
векторами, которые могут быть использованы как координаты в У. Касательно
$С(&)Г\У можно сделать следующие замечания:
а. еЙ?(А) ПТ* содержит восемь труб
аI - 1(ль л*): Im(n! + я2)?К+, Im я^К-};
Л! - ((ль я2): 1шя1?К+, 1т(я! - я2)?К-};
$ = {(яь я2): 1т (ях + я2)?ЕК+, 1тя2Е:К-}; аВ' = {(яь я2): 1тя2еК_, 1т
(ях- я2)?К-},
\ л ж щ/
:8' / л'
я 1 \
-ж' / ~?'
/ ~л "Я 2 \
Рис. 8. Символическое представление труб в 7°.
а также -<?, -Ш, -<Л', - е8' (рис. 8). V+ обозначает будущий конус в
двумерном пространстве - времени, т. е. (1тя!еУ+) означает: (1т(я1+я?)> 0
и 1т (я? - я! )>0)-
206
б. Более того, Ж (А) ПТ* содержит множества вида 31 (Jt" ё8)Г)(*?-(-ё8) и
N (Л', eBO, где 91(*?, е8) является открытой (комплексной) связной
окрестностью (в У) вещественных точек р^У, удовлетворяющих
р)<М) (0 < / < 3), (Pl 4- ft)2 < Ml. (3.7)
SQ(e^/ ,с80 является открытой связной окрестностью (в У) вещественных
точек р^У, удовлетворяющих
f. < М) (0 < / < 3), (ft + ft)2 < Л4?2. (3.8)
Для того чтобы выразить эти условия через переменные яь яг, введем
обозначения:
Ш1? = min |м? (t -f- т\ - /и§)2, М\ -
-\;" + т\-гп\?}
= min \м\ -{t + т\ - m2)2, М2о -
_J_(* + m2_m*)*);
ЯЛ^О = Л1 "о - ("*? - /И2 + Щ2 _ т2)2.
ал2 2 = м?2 - ^-(mi-ml - + mo)2-
Вещественные точки в У, удовлетворяющие условию
(3.7) [соответственно (3.8)], соответствуют вещественным значениям яь Яг,
удовлетворяющим условиям
я? < ЯЛ?; я? < аЛ^; (Ях - я2)2 < аЛ?0, (3.9)
я? < ал?; я? < ал|; (ях + я2)2 < аЛ?2. (3.10)
(Здесь я?обозначает (яь ni) - (я?)2 - (я?)2 и т. д.).
Существование подмножеств области о/?(Д) вида ЩЛ" и ЩА\ е8')П((r)?'+о8')
является след-
ствием теоремы об острне клина (см. лемму 2.5).
в. В действительности из леммы 3.7 (и соответствующих лемм с
перестановками индексов) мы зиаем больше:
207
для каждого вещественного (яь я2), удовлетворяющего (3.9), существует
(комплексная) подобласть об-ласти<5?(Д) ^У3 вида
