Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
f- k0f = (k2 -f- k3)2\
l]=k) (0</<3).
Как известно, эти переменные не являются независимыми
з
s 1 и - 2 ?/• (3"6)
/=о
Отображение импульсного пространства в пространство переменных s, t, и и
?j, удовлетворяющих условию
(3.6), обозначим I. Определитель Грамма от (k\, ki, k$) или (-k0, k2,
?3) и т. д. обозначим Q(s, t, и, ?,-):
Q(s, t, и, I) = det {(б;, kj)) (j, /= i. 2,3)"
Условия стабильности. Будем предполагать, что имеют место следующие
условия стабильности:
Mjk< mj + ntk,
Му<ту* + т*,
19!)
причем (у, k, т, п) - произвольная перестановка (0, 1, 2, 3). Так как
m;<Af;(0s^<3) и Mjk = Mmn, то они означают, что
nt] < Mjk -f mk, Mj < Mjk -f M.k,
\mj - mk\< Mjk, Mjk < Mj + Mk, m.j <mk + mm -f mn.
Физические точки. Физическими являются те вещественные точки р, для
которых li = p2j=m2j (О^/^З) и, следовательно, pj^V±. Так как т^<цпк +
тт-\-тп для каждой перестановки (у, k, т, п) чисел (0, 1, 2, 3) и Pi - -
(Ph+Pm+Pn), то два вектора из
{Ру}/=о, 1, 2, 3
должны принадлежать V+, а других два - V-. Если, например, y?j<=E+, /зА<=
V+, pm^V-, pn^V~, то
/>?<^(0<у<3),
(Рj 4" Рт) ^ (^/' Шт) ''С М1т,
(Pj + Рп? < ('"у - тп? < м1т,
(Pj 4- Pkf >(trij + mkf > м%.
Иначе говоря, имеют место условия, при которых справедлива лемма 3.3
(после подходящей перестановки переменных). Поэтому существует открытая
комплексная окрестность W точки р, такая, что Щ, (Л) содержит W П С r,fe.
(Эта окрестность, очевидно, пересекается с массовой оболочкой.)
Замечание. Пользуясь свойством полиномиального роста функции Я(k) вблизи
границ области U 9^ (которое вытекает из
S
гл. 2, § 5), локальной природой теоремы об острие клина, алгебраической
природой замен переменных (которые были сделаны прн доказательстве леммы
3.3), можно показать, что Я (ft) также обладает полиномиальным ростом
вблизи границы областей, определяемых леммой 3.1. Так как массовая
оболочка представляет собой алгебраическое многообразие, то отсюда
следует, что ограничение H(k) на ней также имеет полиномиальный рост
вблизи вещественных физических точек. В силу теорем, обобщающих теорему
2.1, имеем граничное значение в этих точках, которое является обоб-
2 2
щенной функцией на вещественном многообразии {р: Pj =mj , О^/^З), по
крайней мере, в регулярных точках этого многообразия.
200
Мы уже отметили, что Ш (Д) и Ж*(А) инвариантны относительно комплексной
группы Лоренца (включая отражения) L(C). Холл и Вайтман показали, что
если k и k' удовлетворяют условию (ki, kj) = (k'i,k'j)(j, t = 0, 1, 2, 3)
и если Q[/(*)]^0, то существует преобразование AeL(C), такое, что k'=Ak
(т. е. k'j = Akj, 0^/^3). Отсюда следует, что множество <ЩД) Г) {k :
Q(I(k) =^=0} насыщено (следуя Хеппу [51]), т. е. оно является полным
прообразом собственного образа в пространстве инвариантов:
(ПШ) Г) {s, t, и, I :Q(s, t, и, S) = 0}) =
= <№(&) Г\ [k : Q(1 (k)) = 0).
Поэтому полезно рассмотреть образ I [Ж(Us)} области Ш (А) и образ области
Ш& (А) и, в частности, его пересечение со множеством {s, t, и, ? : =
(0^/^3)}. Это
пересечение содержит подобласти (массовой оболочки) следующего вида:
S'± = {s, /, и: + Ims > 0} П^(5).
Тг± = {s, t, и: ± 1пП > 0} f) 31(7')" t/'± = {s, t, и: ±lm">0) ПЯ*(t7).
SR(5), 91(7") и 31 (t/) представляют собой открытые связные окрестности
(в подмногообразии {s, t, и, t,s=m/ ) пространства инвариантов) множеств
S, Т, U соответственно, где
S = {s, t, и : (s, t, и, ?) = / (р), Im р = 0, р2 = щ2(0</<3); Pi^F+,
р2€=К+, p"sK- Ро^К-),
7 = {s, t, и : (s, t, и, Q = / (р), Im р = 0, р2 = т2 (о < j < 3); PieK+,
р3еК+, р2^^", Po^V-}.
t/ = (s, t, и: (s, t, и, l) = l (р), Im р = 0, р2 = т2(0</< 3); pi€=F+,
p0e=V+, p2eV~, p3eV-J.
201
•S'+ является образом подмножества области е^(Д), определяемого ниже:
Et = {# = pf + \(f : Ц/Z - р||<р(р); || <?'|| < р (/?);
р2 = k'j = т2.(0 < / < 3); p!(=V+, />ге= V+, p0^V~,
p^V~\ Im {k\ + k'2f > 0} (p (p) > 0).
Это множество связно и инвариантно относительно отражения пространства.
Так как L+(C) связно, то от-
сюда следует, что множество ?'+ = и Ef и множе-
5 леДс) s
ство E's+ П {k: Q[/(&)]#0} связны. Для S'±, Tf± и Uf± имеем аналогичные
результаты.
В следующих параграфах мы покажем, что пересечение области ЩА) с массовой
оболочкой содержит связную подобласть, которая сама содержит множество
202
Es и аналогично определяемые множества Es~, Е'^, E'iT. Это известно как
"перекрестное свойство" четырехточечной функции.
Множества S, Т, U (которые имеют своими границами ветви кривой Q(s, t, u,
m2) удобно изображать на диаграмме Мандельстама (рис. 7) (см., например,
работу [54]).
§ 5. Доказательство перекрестной симметрии
Доказательство будет начинаться аналитическим расширением внутри
подмногообразия комплексного импульсного пространства. Такая процедура
тем не менее приводит к точкам области Щ, (А) (т. е. точкам, где И (к)
голоморфна по всем переменным) как результат замечаний, сделанных в гл.
2, § 2 и гл. 3, § 5.
Рассмотрим сначала (линейное) многообразие, получаемое приравниванием (k\
