Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
коммутирующий с операторами сдвига, можно снова представить в виде
полинома от оператора I и оператора Лапласа - Бельтрами Д, являющегося
естественным обобщением оператора Лапласа на плоскости. В этих случаях
функцию и (У.) легко найти - она имеет вид р{КА), где р - полином (тот
же, какой берется от оператора Д), а Яд находится из соотношения
Дф^)(0 = ^дФ^) (0.
справедливого, поскольку все сферические функции являются собственными
функциями оператора Д. Для сферы S2 оператор Д равен
д2 . cos 9 д | 1 д2
(Э92 sin 9 39 sin2 9 д<р2 '
так что, как легко видеть, Ка для сферической функции Ух,п(0, ф) здесь
равно -Я(Я'+ 1). Таким образом, действие оператора сводится к умноже-
1
нию "спектральной плотности" /(Я) (заменяющей меру F(К) в рассматриваемом
случае дискретного спектра) на
2 aj {Я (Я + 1 )У I .
/ I
В общем случае ситуация более сложна; так, например, если симметрическое
пространство не евклидово и его ранг равен I (т. е. оно имеет
подмногообразие, содержащее каждую геодезическую, его касающуюся, и
представляющее собой плоское пространство ') размерности I, но не имеет
подобного же подмногообразия размерности, большей I), то на нем найдется
уже I таких операторов Дь Д2, . . ., Д(, что
>) Это означает, что тензор кривизны равен нулю, так что если двумерное
векторное подпространство касательного пространства в точке to отобразить
с помощью экспоненциального отображения на многообразие Т, то гауссова
кривизна получающегося сечения Т будет равна нулю.
102
13.3. Фильтрация и "склеивание"
каждый дифференциальный оператор, коммутирующий со всеми операторами
сдвига, можно представить в виде полинома от этих операторов и оператора
/.
Операция дифференцирования ^яДреднем квадратичном) процесса x(t),
разумеемся, может и не быть определена. Для того чтобы ряа имела смысл,
надо, чтобы сходился интеграл /
[\u{X)?dp (А,).
От последнего замечания естественно перейти к определению (скажем, для
симметрических пространств ранга 1) процесса x(t), удовлетворяющего
соотношению
?>ja.j\lx(t) = ti(t), (1)
где n(t)-"белый шум", т. е. такой стационарный процесс, что его
спектральной мерой служит
однозначно определенная положительная мера dX на множестве Л, для которой
верна формула Планше-реля. В таком случае, очевидно,
#*(Л) = |2а/А.дГ2**А,. (2)
Это определение, разумеется, может и не быть корректным, так как мера dX
не обязательно конечна; и поэтому такой процесс n(t) может и не
существовать. Однако всегда можно показать, что спектральная функция
должна иметь вид (2), если только процесс x(t) удовлетворяет соотношению
(1), понимаемому в смысле равенства
| [^] а;Л;* (*)] / (t) dp (t) = | / (t) dN (t),
T T
где f(t) принадлежит некоторому специальным образом выбранному подклассу
функций на пространстве Т, а процесс N(t) (зависящий фактически уже не от
точки, а от множества пространства Т) таков, что
Е {JV (Г,) (Г-а)} =-|*
13.3. Фильтрация и "склеивание"
103
для любых двух измеримых множеств и Т2 (интегрирование по йц(^) здесь
имеет смысл интегрирования по фактически единственной инвариантной мере
на Т).
Еще один важный вопрос, заслуживающий специального обсуждения, возникает,
когда значения процесса x(t) наблюдаются не на всем многообразии Т, а на
некотором его подмножестве. Вопрос, который мы хотим обсудить, касается
связи между "спектром" наблюдаемого процесса и спектром полного (не
наблюдаемого) процесса x(t). Ясно, что для того, чтобы само понятие
спектра было применимо к наблюдаемой части процесса, необходимо
существенно ограничить природу упомянутого подмножества. Случай, когда б
- абелева группа, уже был рассмотрен выше.
Теперь мы рассмотрим случай, когда Т - произвольное симметрическое
пространство, а процесс x(t) наблюдается на подмножестве точек вида #/0,.
.. ..., Htn, где Н - некоторая дискретная подгруппа группы G (так что
если группа G компактна, то Н конечна). Мы ограничимся лишь случаем,
когда пространство классов смежности G/Н компактно (в топологии,
индуцированной топологией группы G). Начнем с естественного обобщения
формулы суммирования Пуассона, которая, как мы видели в разделе 11, в
случае- абелевой группы позволяет получить искомую связь. Этим обобщением
будет формула следов Зельберга, которая (в формальной записи) утверждает,
что
/ ( 2 Х(г)(й) v(*_1M = / y(g)q>M(g)dg-
Q/H I h<= H J AO
(3)
Здесь x(r)(^)-характер r-ro (v-мерного, где v < oo) неприводимого
представления группы H, dx - элемент инвариантной меры на пространстве
G/Н (однозначно определяемой, как и в разделе 11.1, если выбрать меру на
Н, приписывающую единичный вес
104
13.3. Фильтрация и "склеивание"
каждому элементу этой подгруппы), а крат-
ность А-го неприводимого представления группы G в представлении,
индуцированном (в объясненном ниже смысле) г-м неприводимым
представлением группы Н.
Для того чтобы объяснить, что значит здесь "индуцированное", рассмотрим
пространство всех измеримых функций 0(g) на G со значениями, являющимися
