Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хеннан Э. -> "Представления групп и прикладная теория вероятностей" -> 34

Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.

Хеннан Э. Представления групп и прикладная теория вероятностей — М.: Мир, 1970. — 115 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppiprikladnayateoriya1970.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 .. 38 >> Следующая

векторами v-мерного пространства, в котором действует данное неприводимое
представление группы Я, таких что
0(M = t/(r)(/*)0(?)-
Определим скалярное произведение в этом пространстве формулой
(0" 02) = | (0J (х), 02 (*)) dx,
он •
где под знаком интеграла стоит скалярное произведение в пространстве
представления Жг>(/г). Индуцированное представление U(r){g) тогда будет
иметь вид >)
U(D (gi)9(g) = 9(^i)-
Можно показать, что оператор Я(Г) разлагается в дискретную прямую сумму
неприводимых компонент, каждая из которых повторяется лишь конечное число
*) Для того чтобы выявить аналогию с определением индуцированного
представления, использовавшимся в разделе ,7, можно для
рассматривавшегося там случая конечных групп рассматривать не саму
функцию 6(g), а лишь ее значения на отдельных "типичных элементах" gi
классов смежности G/Н (так как при заданном представлении группы' Н
функция 0(g) определяется этими значениями однозначно). Если теперь
представить эти значения 0(gi) в виде вектора с векторными компонентами,
то мы придем к формализму раздела 7. При выполнении условий "теоремы
взаимности" Фробениуса числа будут кратностями г-го неприводимого
представления в сужении А-го неприводимого представления группы G на Н,
13.3. Фильтрация и <гсклеивание" . 105
рая. Формула (3) получается при помощи вычисления следа оператора
двумя различными способами, первый из которых опирается на рассмотрение
представления U^)(g) как индуцированного, а второй - на его рассмотрение
в виде дискретной прямой суммы неприводимых компонент.
Если y(g) - функция с интегрируемым квадратом, то равенство (3)
безусловно выполняется и его можно записать в виде
где функция f(X) удовлетворяет соотношению
Таким образом, формулу (3) можно интерпретировать точно так же, как и
аналогичную формулу в разделе 7, Левую часть этой формулы можно надеяться
определить, оценивая выражение в фигурных скобках по данным на достаточно
большом подмножестве множества (J Htb а затем аппроксимируя интеграл
г
по dx суммой, распространенной по достаточно большому числу точек из GJH.
Знание чисел позволяет тогда сказать, что именно мы знаем о спектральной
плотности /(Я). Формула (3), конечно, не дает исчерпывающий ответ на наш-
вопрос, так как она верна лишь при некоторых дополнительных условиях (см.
Зельберг [1]) и, кроме того, ограничивается случаем лишь конечномерных
неприводимых представлений группы Я. Если группа G компактна, то все эти
условия выполнены и формула кажется дающей удовлетворительный ответ на
поставленный вопрос. В этом частном случае п^ совпадает с кратностью r-го
неприводимого представления группы Я
{ Y (§) U(г) (g) dg
y(g)=f Ф(Я) (g) f W dX.
A
108 , 13.4. Безгранично делимые распределения
в сужении К-то неприводимого представления группы G нэ Н, что можно
увидеть из сравнения характеров этих представлений*).
Если Н - нормальный делитель группы G, то
J t$\xhx-')dx = %$(h)
GIH
можно снова интерпретировать как характер представления группы G,
индуцированного г-м неприводимым представлением группы Я. Следовательно,
в этом наиболее выгодном случае формула приобретает более простой вид
2 Y (Af0, *о) 4r> W = 2 ntff (А.),
Н Я
где все выражения .в левой части можно оценить.
13.4. Безгранично делимые распределения на симметрических пространствах
Последнее рассматриваемое нами приложение принадлежит Ганголли, который
охарактеризовал все безгранично делимые (изотропные) вероятностные меры
на симметрических пространствах. На самом деле он перенес на этот случай
значительную часть , теории безгранично делимых распределений, развитой
ранее для случая вещественной оси. Для общих симметрических пространств
евклидова типа эти результаты также являются классическими и хорошо
известны. Ганголли рассматривал симметрические пространства компактного
типа, но мы здесь ограничимся случаем пространств некомпактного типа.
Следует заметить, однако, что всякую связную компактную группу Ли G можно
рассматривать как сим-
') Следует заметить, что левую часть обсуждаемой формулы можно записать и
в другом виде (см. Зельберг [1]), позволившем Зельбергу вычислить ее
правую часть. При рассмотренном же нами (не слишком реальном)
использовании этой формулы ее левая часть предполагается оцениваемой по
данным наблюдений, а числа считаются известными.
13.4. Безгранично делимые распределения 107
метрическое пространство компактного типа. Упомянутое выше условие
изотропности (строго определенное ниже) требует инвариантности
вероятностной меры р, относительно отображения g->gQggQl, т. е. ее
постоянства на классах сопряженных элементов. Для абелевых групп G это
условие всегда выполняется, так что часть результатов Клосса,
обсуждавшихся в разделе 11.3, следует и из рассуждений Ган-голли.
Ганголли рассматривал класс конечных регулярных борелевских мер р(^) на
пространстве Т, для которых
n(kE) = \i{E) при & е К (1)
для всех измеримых множеств Е. Это условие и есть условие изотропности.
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed