Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
Каждая такая мера индуцирует некоторую меру р на G (где Т - GjK),
удовлетворяющую соотношению
р (kSk') = р (5), k, k's К, (2)
где S - измеримое подмножество в G. Преобразование Фурье определяется
тогда формулой
р(А)= |$w(g)^p(g). (3)
в
Ганголли показал, что достаточно рассматривать это преобразование лишь
для некоторого подкласса всех положительно определенных зональных
сферических функций (соответствующих в случае комплекс-
ной полупростой группы Ли G так называемым главным сериям ее
представлений). Для того чтобы объяснить этот факт, нужно детализировать
природу множества, пробегаемого параметром %. Можно показать, что всякий
элемент группы G представим в виде произведения
g = kan,
где k е К, а принадлежит некоторой односвязной абелевой -подгруппе А
группы G, а алгебра Ли
108 13.4. Безгранично делимые распределения
подгруппы N, пробегаемой элементом п, нильпотентна в том смысле, что
линейное отображение
нильпотентно (N и Z принадлежат алгебре Ли группы N). Это разложение
называется разложением Ивасавы. Например, в случае комплексной унимоду-
лярной группы k - унитарная матрица, а - вещественная диагональная
матрица, а п - треугольная матрица с нулями над главной диагональю и
единицами на ней. Все эти матрицы, разумеется, унимоду-лярны.
Алгебра Ли группы А обозначается через ЬРо и является абелевой алгеброй
Ли в том смысле, что коммутатор любых, двух ее элементов равен нулю.
Параметр Я определяет вещественный линейный функционал, заданный на
алгебре 1>Ро, рассматриваемой как вещественное векторное пространство.
Вероятностная мера ц, удовлетворяющая условию
(2), называется безгранично делимой, если она равна vj (т. е. /-й степени
некоторой меры Vj) при любом /. Оказывается, что мера р безгранично
делима тогда и только тогда, когда
где |g|.- геодезическое расстояние от t0 до gt0, L - положительная мера,
удовлетворяющая условию (2) и такая, что
а Рг)(Я)-собственное значение некоторого дифференциального оператора в
частных производных второго порядка D, соответствующее собственному
вектору Оператор D - эллиптический оператор,
обращающий в нуль константы и коммутирующий с операторами левых сдвигов.
Так же как и в разделе 11.3, его можно цредставить в виде симметриче-
Z-*[N, Z]
р (Я) == ехр{Р0(Я)} - J {1 -$W(g)}dZ, (g),
4 в I > 0
О
13.4. Безгранично делимые распределения 109
ского однородного полинома второй степени относительно элементов алгебры
Ли группы G (с добавлением слагаемого, кратного единичному оператору),
рассматриваемых как дифференциальные операторы на пространстве бесконечно
дифференцируемых функций на G, инвариантных относительно правых сдвигов
на элементы из К.
Функция (1 - сф<л)(^)}, с > 0, равна преобразованию Фурье вероятностной
меры
(4)
/=о
где jig - мера с носителем KgK, индуцированная нормированной мерой Хаара
на группе К X К. Меру (4) естественно назвать "мерой Пуассона с размером
скачка g и интенсивностью скачков с". Аналогия с классической ситуацией
здесь очевидна.
Ганголли показал, что мера Д (удовлетворяющая условию (2)) безгранично
делима тогда и только тогда, когда
Д(Я) = ехр{-Ч^Я)},
где
W (Я) = lim f {l-y(!i)(g)}dL/(g),
i J
а меры Lj удовлетворяют тем же самым условиям, что и L. Он также указал,
что такая мера Д безгранично делима тогда и только тогда, когда, для
всякого положительного числа / найдется г3- таких вероятностных мерД3>, г
= 1, ..., г3 (удовлетворяющих условию (2)), что
г/
(I) Д,ДЯ) =П Ад г (Я) -*Д(Я),
1
(II) max Ijlj, гМ - 11 -> 0 равномерно по % на
компактных множествах пространства всех вещественных линейных
функционалов на 1)Р).
110 15. Некоторые библиографические замечания
14. Заключение
Мы надеемся, что настоящий обзор выявил возможность широких приложений
теории представлений групп в статистике и теории вероятностей.
Безусловно, существуют также многие приложения, неизвестные автору.
Некоторые же другие вопросы были опущены сознательно. В качестве примера
напомним, что в разделе 7 не обсуждались уравнения для оценки недостающих
наблюдений в задаче о планировании эксперимента с неполными блоками.
Аналогом этого опущенного вопроса в применении к стационарным процессам
второго порядка на симметрических пространствах является вопрос о
прогнозе или интерполяции таких процессов. Эта последняя задача
рассматривалась уже для случая некоторых локально компактных абелевых
групп (см. Хелсон и Лауденс-лагер [1]), и надо думать, что проблемы
интерполяции на общих симметрических пространствах (так же как и задачи
прогнозирования в случае симметрических пространств некомпактного типа)
еще привлекут внимание в недалеком будущем.
Нам кажется, что использование теории представлений в теории вероятностей
и статистике очень привлекательно; этим нашим чувством нам и хотелось
заразить читателей нашей книги.
15. Некоторые библиографические замечания !)
Разделы 2 и 3.1. Все сказанное здесь можно найти в книге Г..Вейля [1].
Автор широко использовал эту книгу и книгу Холла [1]. См. также Кэртис и
