Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Прямой метод разложения внутренних произведений (ряд Клебша — Гордана) был предложен Мурнаганом и Гамба. Мы не станем описывать их метод, а лишь укажем несколько общих формул и приведем таблицы (табл. 29) всех нетривиальных внутренних произведений вплоть до я = 5:
(я— 1,1) X (я — 1,1) = (я) -|-(я — 1,1) +
+ (я—2,2) + (я —2,12), (7.167) (я — 1,1) X (я — 2,2) = (я — 1,1) + (я— 2,2)+ (я— 2,12) +
+ (я—3,3) + (я —3, 2, 1) (я >4), (7.168)
(я —1,1) X (я — 2,12) = (я — 1,1)+ (я — 2,2)+ (я — 2,12) +
+ (я —3, 2, 1) + (я—3,13), (7.169)
(я —2,2) X (я —2,2)= (я) + (я— 1,1) +2 (я — 2,2) + (я — 2,12) + + (я— 3,3)+ 2 (я — 3, 2, 1) + (я —3,13) + (я—4,4) +
+ (^— 4, 3, 1) + (п— 4,22). (7.170)
§ 13. Внутренние произведения
305
Таблицы дают коэффициенты в разложении внутренних произведений. Для произведений, стоящих слева, коэффициенты относятся к разбиениям, выписанным над столбцами; для произведений, стоящих справа, коэффициенты относятся к разбиениям, указанным внизу под столбцами. Показаны не все возможные случаи. Не указанные случаи легко получить с помощью простых теорем о сопряженных разбиениях, которыми мы пользовались раньше и которые приводим здесь еще раз для удобства. Из (7.44) мы знаем, что
(Ь)Х(1 ") = (?). (7.171)
где (А)—разбиение, сопряженное с разбиением (А). Кроме того,
№ х (н)] X (V) = (К) X {00 X (V)] = № X (V)] X (И). (7.172) Полагая (v) = (l"), получаем
W ~ (ІГ) = (1)Х(Й=ЙХ(|1). (7.173)
Из второго равенства, заменив (А) на (Я,), находим
(?)Х(Й = (Ь)Х(Н). (7.174)
В гл. 6 мы также показали, что если (А) X (l-О содержит (v), то (А) X (v) содержит (|i), И (|i) X (v) содержит (І). В самом деле, во всех трех случаях коэффициент в разложении есть не что иное, как коэффициент единичного представления (я) в (А) X О-1) X (v). Итак, мы видим, что (А) X 0-0 содержит единичное представление (с коэффициентом, равным единице) в том и только в том случае, если (А)=(|і), а (А) X О-1) содержит знакопеременное представление (1”) (с коэффициентом, рав~ ным единице) в том и только в том случае, если (Я) = (|я),
Уже при п = 5 табл. 29 показывает, что задачи, возникающие в связи с рассмотрением симметрической группы, могут оказаться совсем непохожими на задачи, связанные с группой вращений; некоторые представления входят в разложение кронекеровского произведения двух представлений с коэффициентом, большим единицы. Как
мы увидим позже, в случае группы вращений с таким явлением можно столкнуться лишь при рассмотрении произведений трех сомножителей (см. также § 8 гл. 5).
Внутренние произведения можно вычислять и графическими методами. Гамба и Радикати сложным путем получили графический метод для частного случая (А) X (я — 1, 1). Мы приведем гораздо более простой вывод этого метода и укажем, как можно его обобщить.
Из задачи 3 § 4 настоящей главы мы знаем, что
у(Л— 1, 1) __ ___1
(7.175)
306
Глава 7. Симметрическая группа
Чтобы найти коэффициент с которым представление (|і) входит в (Я) X (я — 1, 1), воспользуемся равенствами (5.107), (7.12) и (7.175)-
У _____________Ї------У,п~h yW у(М-)
^ а!2^р!... (і“2Р...) (іа2Р...)Л(і“2Р...)
а, ft V. а+2р+ ... -я
- 2
а, ft V. ¦ а + 2(3+ ...
!2РР! ... (а ^ Х(0“2ІЗ...)Х0«2ІЗ...)- (7А76)
Сумма, стоящая с коэффициентом (—1), тотчас же вычисляется с помощью соотношения ортогональности и оказывается равной — 6^. В сумме с коэффициентом а мы применяем к и правила ветвления:
уО.) у (Ц)
A-/TrtoR •
а, 3, Y, а + 2$+ ..
у(^) уЦО
\Л-,
афО, 3, у, ... а+2{3-|-... =п
(а — 1)! 2РР! ... (іа2Р...Г(і“2Р...)
2 (а_________1)! 2^61 ^(У-'гР...) 2 Х0«-І2Р...)—
а^О, |3, у, ... ’ Н"" (V) (Ю
а + 2|3н ... = п
= ? (7'177)
а', ft V, ••• (А.') ЦГ)
а'+2|3+ ... = я-1
где мы ввели обозначение а — 1=а'. Разбиения (Я') и (|д/) получаются из разбиений (Я) и (|і) правильным удалением одной клетки.
Но теперь мы видим, что каждое произведение в 2 S имеет в точ-
(V) Ці')
ности такой вид, какой необходим для того, чтобы можно было применять соотношение ортогональности для я — 1 частицы, что и даетб^'ц'. Итак, кронекеровское произведение (Я) X (я — 1, 1) будет содержать (|і), если удаление одной клетки из (к) и удаление одной клетки из (j.i) приводит к одному и тому же разбиению числа я—1. Мы можем высказать и более простое утверждение: кронекеровское произведение (Я) X (я — 1. 1) содержит (|і), если удаление одной клетки из (Я) и добавление одной клетки к получающемуся разбиению дает нам (|і). Объединяя сказанное с результатом, полученным для множителя (—1), можно утверждать: разбиение (Я) входит в (Я)Х X (я — 1, 1) с коэффициентом N — 1, где N — число различных Все представления (|і), графы которых получаются из графа (Я) выбрасыванием одной клетки, входят в это произведение с коэффициентом 1.
§ 13. Внутренние произведения
307
Например,
8°
?
Этот графический результат содержит все формулы от (7.167) до (7.169) в качестве частных случаев.
Использованный выше метод можно обобщить на любое произведение (?,) X (1-і), длл которого мы знаем явные выражения
характеров одного из сомножителей через а, р, ... (в виде
