Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
P = ^iP—«симметризатор», (7.149)
р
Q = 2 — «антисимметризатор», (7.150)
ч
где б? — четность перестановки q, а сумма берется по всем горизонтальным перестановкам данной таблицы в (7.149) и по всем вертикальным перестановкам в (7.150).
Оператор Юнга
Y = QP (7.151)
существенно идемпотентен и порождает левый идеал, доставляющий нам некоторое неприводимое представление группы Sn. Представления, получаемые этим методом, для различных схем неэквивалентны. Различные таблицы с одной и той же схемой приводят к эквивалентным неприводимым представлениям.
Если мы всегда будем выбирать стандартные таблицы § 3 настоящей главы, то при этом мы будем получать полное разложение регулярного представления группы Sn.
Эти утверждения допускают изящное прямое доказательство, на котором мы не будем останавливаться, поскольку оно в одном и том же виде приводится во многих учебниках. Вместо этого мы покажем, к каким результатам оно приводит в нескольких простых случаях.
290
Глава 7. Симметрическая группа
При п = 2 задача тривиальна. Величины ? + (12) и е—(12), соответствующие схемам
И Щ ,
существенно идемпотептны:
[е ± (12)] [е ± (\2)] = е2 ± 2е (12) + (12) (12) = 2 [е ± (12)]. Разложение единичного элемента на идемпотенты имеет вид
я_« + (12) , в-(12)
2 ' 2
Первый образующий элемент задает единичное представление, второй— знакопеременное представление. Каждое из них входит в регулярное представление с коэффициентом, равным единице.
Случай я = 3.
Таблица
ШИШ
с определяющим элементом, равным задает единичное
R
представление.
Таблица
ш
№
m
с определяющим элементом, равным порождает зна-
R
копеременное представление.
Элемент е + (12) и в этом случае существенно идемпотентен. Посмотрим, какой левый идеал он порождает. Умножим ? + (12) слева на каждую из перестановок:
е[е + (12)] = е + (12) = (12)[е + (12)],
(13) [в + (12)] = (13) +(123) = (123) [в+ (12)],
(23) [е + (12)] = (23) + (132) = (132) [е + (12)].
Мы видим, что элемент е + (12) порождает трехмерный левый идеал с базисными векторами е+(12), (13)+ (123), (23)+ (132).
§ 10. Операторы Юнга
291
Так как
e = j[e + (12)]+i[e-(12)],
то величина [е — (12)] порождает левый идеал такой, что
A = J?l + J2’2.
Левый идеал 2 имеет базисные векторы е — (12), (13)—(123), (23)—(132). Из (7.144а) следует, что
[е±(12)] [в + (12)] = 0.
Идеалы ,3’1 и J3?2 не минимальны, ,3’1 содержит идемпотент |V/?, з jg’2 содержит идемпотент -І ^ 6rR. Таким образом,
задает единичное и какое-то двумерное представление, в то время как 2 задает знакопеременное представление и некоторое двумерное представление. Получающееся при этом разложение единичного элемента имеет вид
+ [Є 2(12> —
Если вместо получения единичного разложения мы продолжим вычисления по нашему рецепту, то получится стандартная таблица
для которой
р = е-1т( 12), Q = e — (13) и Y = QP = е —)— (12) — (13) — (123). Другая стандартная таблица
И®
а
приводит к
Р' = е-\- (13), Q' =е —(12) и Y' = Q'P' =е— (12)+(13) — (132). Мы получаем следующее разложение единичного элемента:
Задача. Проверьте, что операторы К/3 и Y'/З идемпотентны и что YY' =
- Y'Y = 0.
292
Глава 7. Симметрическая группа
Случай я = 4.
Таблица
ШИШИ
дает единичное представление. Таблица
ш
[1]
®
ш
дает знакопеременное представление. Для схемы
стандартная таблица
?
?
HODGE] 0
имеет
Я1=в + (12) + (23)+(13)+(123) + (132), Q,=e—(14) и Y^Qfi.
Стандартная таблица
шиа ш
имеет
Я2 = в + (12) + (14)+(24) + (124) + (142). Q2 = e—(13) и У2 = QyPi-
Стандартная таблица
имеет
Яз = е + (13) + (14)+(34) + (134) + (143),
- Яз = е— (12) и K3 = Q3P3.
§ II. Построение произведения волновых функций 293
Для схемы
стандартная таблица
имеет
Я4=[в+(12)] [в+(34)], Стандартная таблица
имеет
Я5«=[е + (13)][в+(24]),
Задача. При л = 4 найдите разложение единицы по операторам Юнга.
§ 11. Построение произведения волновых функций с заданной симметрией. Условия циклической симметрии Фока
Предположим, что у нас имеется система, содержащая я эквивалентных частиц, и что типичная собственная функция, принадлежащая энергии Е, имеет вид
ф = и(1)'и(2)'ш(3) ... z (я).
Мы предполагаем, что все одночастичные функции в произведении различны и ортонормированы (поскольку они являются решениями одного и того же уравнения Шредингера). Позднее мы изучим случай, когда число одночастичных состояний ограниченно. Так как частицы эквивалентны, мы можем строить базисные собственные функции с помощью перестановок и составления линейных комбинаций. Мы хотим построить базисные функции для различных неприводимых представлений группы Sn. Решение этой задачи было дано в § 10 настоящей главы. Чтобы получить базисные функции соответствующего неприводимого представления, мы применяем к функции операторы Юнга, отвечающие всем стандартным таблицам данной схемы..
Q4=[e —(13)][е—(24)] и Y4 = Q4P4.
шш
ЕЙ
Qs = [в — (12)] [в — (34)] и У5 = Я5Ря.
294
Глава 7. Симметрическая группа
Случай я = 2.
Нормированная функция для таблицы
имеет вид
ШИ
^[«(1)г>(2)+«(2)г>(1)].
а базисная функция для таблицы
