Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Докажите, что оператор Юнга Y для табл. (7.154а) аннулируется оператором (7.154) циклической симметрии, т. е.
к
е— 2 (л0
1-і
Точно так же докажите, что оператор Юнга для таблицы общего вида аннулируется операторами циклической симметрии (7.155).
§ 12. Внешние произведения представлений симметрической группы
В случае симметрической группы кронекеровские произведения представлений обычно называются внутренними произведениями, поскольку они являются произведениями двух представлений, каждое из которых соответствует одним и тем же частицам. Например, ранее мы научились для трех частиц строить такие внутренние произведения, как Da X D^, где в качестве и а и р, например, служит разбиение (2,1) для частиц, помеченных символами 1, 2, 3. Кроме того, мы научились разлагать внутреннее произведение на неприводимые компоненты. Например, для только что упомянутого случая
(2,1)Х(2,1) = (3)+(2,1) + (13).
Это внутреннее произведение (ряды Клебша—Гордана) мы рассмотрим подробнее в следующем параграфе.
В случае симметрической группы для многих физических задач оказывается важным другой тип произведения. Представим себе, что у нас имеется две отделенные друг от друга системы, первая из которых состоит из частиц 1, 2, 3, а вторая содержит частицы 4,
5, 6. Считается, что все частицы эквивалентны. Предположим сначала, что наши системы не взаимодействуют друг с другом. В этом случае мы бы классифицировали состояния первой системы по неприводимым представлениям группы 53, действующей на частицы 1, 2, 3; точно так же состояния второй системы мы бы классифицировали по представлениям симметрической группы, действующей на частицц
298
Глава 7. Симметрическая группа
4, 5, 6. Таким образом, мы могли бы получить двукратно вырожденный уровень системы 1, соответствующий схеме
с базисными функциями
??
?
и®
ш • tn
и двукратно вырожденный уровень системы 2 со схемой
??
?
и базисными функциями
0Ш 0 ’S
Когда же две системы взаимодействуют между собой, то состояния объединенных систем надлежит классифицировать по представлениям симметрической группы, действующей на все шесть частиц. В этом случае мы скажем, что имеем дело с внешним произведением (обозначается 0) двух представлений
(2,1)8(2,1),
которое следует разложить на неприводимые представления группы 56. Следует заметить, что если ограничиться перестановкой символов 1, 2, 3 между собой и перестановкой символов 4, 5, 6 между собой, то внешнее произведение будет неприводимым представлением той подгруппы группы 56, которая при этом получается. Но если мы будем переставлять все шесть частиц, то внешнее произведение будет разлагаться по представлениям группы 56. Итак, чтобы найти общее число базисных функций внешнего произведения, мы можем рассуждать следующим образом. Из шести частиц выберем три частицы, чтобы построить первую систему, а остальные три частицы объеди-ним во вторую систему. Это можно проделать Сб=20 способами. При каждом выборе мы получаем две базисные функции для каждого представления, так что общее число произведений функций равно 2x2 У 20 = 80. Результат разложения, правило которого мы сейчас дадим, выглятит так:
(2,1)4s (2,1)= (4,2) —f— (4,12) —(З2) —2(3, 2, 1) +
+ (3,13)+ (23)+ (22, 12). (7Л55)
§ 12. Внешние произведения представлений
299
Подсчитав размерности представлений справа, найдем 9 + 10 + 5+2(16)+ 10 + 5 + 9 = 80.
Такой подсчет служит полезной проверкой в разложениях подобного рода. Приведем теперь без доказательства общее правило. Чтобы найти компоненты внешнего произведения, начертим схему для одного из сомножителей. В схемы других сомножителей впишем один и тот же символ, например а,' во все клетки первой строки, один и тот же символ b во все клетки второй строки и т. д. Будем теперь дописывать букву а к первой схеме. Будем расширять ее всеми возможными способами, но так, чтобы выполнялось правило: никакие две буквы а не входят в один и тот же столбец, а получающийся при этом граф должен быть правильным. То же проделаем и с символом Ь. Введем еще одно ограничение: после того как все символы добавлены к схеме, при чтении добавленных символов справа налево в первой строке, затем во второй строке и т. д. мы должны получить решеточную перестановку букв а, Ь, .. . и т. д.
Чтобы пояснить этот метод, рассмотрим разложение (7.156). Начнем с первой схемы.
Расширим сначала первую схему, присоединив к ней две буквы а. Возможны следующие случаи:
и впишем буквы в клетки второй схемы
а а
Ь
• • а а
• • а
• • о
• •
а) •
(2) • а
(3) •
(4) • а
а
а
(заметим, что случай
а
а
не является допустимым). Теперь присоединим к схеме букву Ъ.
300
Глава 7. Симметрическая группа
Из (1) получим
• • а а
• b
(Заметим, что случай
• •
•
не является допустимым, так как шеточной.)
Из (2) найдем
• • а
• а Ь
Из (3) будем иметь
• • й
• Ь
а
Из (4) получим
• •
• а
а Ь
• • а а
Ь а а Ь
перестановка baa не является ре-
• • о
• а
b
• • а
•
о Ь
• •
• а
а Ь
что подтверждает формулу (7.156).
§ 12. Внешние произведения представлений
