Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
полиномов). Рассмотрим, например, кронекеровские произведения (я — 2, I2) X (X) и (я —2, 2) X (^)- В задаче 3 § 4 настоящей главы мы нашли
!?.)=— 'У" — - р- <7 •178)
Х(№Р ,2.).) = (П~1уа —1 + Р - 1 • (7.179)
Перепишем эти полиномы, разложив их по полиномам системы
1, а, а (а — 1), а (а — 1)(а — 2).........
2р, 22р CP — 1), 23р (р — 1) (р — 2)......
Зу, 32у (y — 1), 33y (y — 1) (Y — 2), ... и т. д.
Два выписанных полинома содержат 1, а, а (а — 1) и 2р. Вычислив (7.176) (где разность а — 1 заменена соответствующим полиномом), мы получим члены, содержащие множители 1 или а (которые мы только что вычислили), один член с множителем а (а— 1) и другой — с множителем 2р. Они вычисляются отдельно. Множитель а (а — 1) дает в 0(Ц) вклад
______1
а! 2
а+2(3+ . = л
2 а^в"1 а(а - =
а, Р, V, • • •
2
ХЙ.,„ XI» (7.180)
а> 1, Р, у, •••
а+2{3+ ... =п
(а —2)12РР!... (іа2Р...Г(і“2Р...)
Применим теперь к и правило ветвления для двух последовательных выбрасываний одной клетки (7.53):
308
Г лава 7. Симметрическая группа
где (Ґ) и ((х') разбиения, получающиеся из (А) и (|і) при двух последовательных выбрасываниях одной клетки. В произведении 2 2
(V) (м.')
мы вновь можем применить соотношение ортогональности (дія группы Sn-2) к каждому члену и, таким образом, вычислить а'.
Аналогично вклад множителя 2[5 в а^) равен
о!1 У ------------------------(26) yW у(Ю
П а! 2^Р! ... (іагР ...) (іагР...)
а, |3, V,
04-2(3+ ... =п
Х(&,в Ав г (7.182)
а, Э>0, V, ... а+2Р+ ... =п
t!2P-I(P —1)! Л(іа2І3...)Л(іа2І3...)'
Применим теперь к (А) и (|і) правило ветвления для случая правильного удаления цикла длины 2 [см. обсуждение, предшествовавшее формуле (7.56)], что даст нам
^ „.2Р-Ч6-П!... Ь (} Х0«213-1...) S
. . >0» V, ...
сс+2|3+ ... =п
а',213-1 (В — 1М ¦“ ^ Л(іа2Р—1...) AJ. Л(і«гР—1...) ‘
а, Р>0, V, ••• ‘ (V) (ц')
= 2 <7Л83>
а, Р', V, ... (У) (М.*)
а + 2(3'+ ... =п — 2
Разбиения (А') и ((і') в (7.183) получены из (А) и (|і) с помощью правильного выбрасывания цикла длины 2. Характер входит со знаком плюс, если удаляется положительная (горизонтальная) полоска, и со знаком минус, если удаляется отрицательная (вертикальная) полоска. Формулу (7.183) можно получить вновь, используя соотношение ортогональности для Sn_2.
Общий метод должен быть ясен из приведенных выше примеров.
Задачи. 1. Завершите вычисления этого параграфа и получите ряд Клебша — Гордана для произведений
а) (л-2, 12)Х(Я), б) (л-2,2) X (Я).
2. Покажите, что формулы для случаев „а“ и „б“ в задаче 1 можно получить друг из друга с помощью соотношения (7.167). [Указание. Постройте тройное произведение (Я) X (п — 1, 1) X (л — 1, 1).]
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы. Свойства симметрии. Рекуррентные формулы
В этом параграфе мы хотим рассмотреть две задачи:
а) вывод свойств симметрии коэффициентов Клебша — Гордана для симметрической группы,
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 309
б) вывод рекуррентных формул для коэффициентов Клебша — Гордана.
При рассмотрении первой задачи нашей целью будет получение соотношений, аналогичных тем, которые были найдены в § 9 гл. 5 [формула (5.151)] для просто приводимых групп. Воспользоваться методом § 9 гл. 5 мы не можем, поскольку при п > 4 симметрическая группа не является просто приводимой. Кронекеровское произведение двух неприводимых представлений в общем случае будет содержать представления С коэффициентом, большим единицы, Т. е. (^|iv) > 1. Но симметрические группы являются членами одного специального класса групп: все их представления можно выразить в вещественном виде (§ 7 настоящей главы). Для таких групп различие между коэффициентами Клебша — Гордана и (Зу)-коэффициентами в (5.140) сводится к тривиальному множителю [/3], поскольку каждое представление совпадает со своим комплексно сопряженным. Поэтому мы будем действовать так же, как и в § 7 гл. 5.
Для любой группы, обладающей лишь вещественными неприводимыми представлениями, все матрицы представлений D^j (R) вещественны, а матрицы D^(R) вещественны и ортогональны:
Мы будем придерживаться соглашания о суммировании по повторяющимся латинским индексам так же, как мы делали это в § 5 настоящей главы.
Запишем коэффициенты Клебша — Гордана § 5 настоящей главы в виде
и обозначим размерность ^-представления через пх. В этих обозначениях равенство (5.114) выглядит следующим образом:
D\k](R)D{fy (R) = Ь]Г.
(7.184)
(ixj, vl I A,v) = Sxyij]
(7.185)
в DwX-D(v)-'
D{kXk)(R) = DiX)(R)
(7.187)
Уравнения (7.186) для коэффициентов Клебша — Гордана представляют собой линейные уравнения с вещественными коэффициентами, и поэтому коэффициенты Клебша — Гордана можно выбрать
310
Глава 7 Симметрическая группа
вещественными. Таким образом, матрица коэффициентов Клебша — Гордана будет вещественной ортогональной матрицей:
(7.188)
= (7.188а)
Атл
Теперь мы можем переставить сомножители в (7,186) и получить (5 115) и (5 116):
s)'X'x'ZdTj (R)Du (R)SlsX^Vl = (tf)6U'6v;fits’. (7.189)
DTUR)D\:: (7.190)
Поскольку D (R) — ортогональная матрица, перенос ее в левую часть равенства (7.186) приводит к выражению
