Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы указать, какие компоненты х входят в симметризованный, а какие в антисимметризованный' квадрат представления Таким
5>у? = 6т;5^у, (7.206а/
( ^ *Т \
где 6т^ = -(-1, если компоненты содержатся в симметризован-
ном произведении, и 6Т^ = — 1, если эти компоненты содержатся
314
Глава 7. Симметрическая группа
в антисимметризованном произведении. Матрицу следует опре-
делять после того, как это установлено. Так как %ф\і, порядок сомножителей в произведении несуществен, поэтому можно
положить
„цт, >41 „цт.ці.
Sj\i=SjKis. (7.2066)
Комбинируя соотношения (7.206), (7.206а) и (7.2066), получаем полный набор соотношений симметрии:
„ЦТ, ?41 0^1^
"i jl * 5 1} j sl Л ] Is
¦ °T, —
V nx ь v nx y «и
(7'206в)
Рассмотрим, наконец, случай, когда ^ = (i = v. Имеем:
Ss kji = bXkSs xij, (7.207)
/ \
где 6т^ = +1, если произведения функций k> содержатся в сим-метризованном квадрате, и 6Т^ = —1, если они содержатся в антисимметризованном квадрате. В этом случае линейные уравнения (7.191) для коэффициентов Клебша—Гордана имеют вид
(К) (I) (к) Л.Х. U JKx,U
D)s (R)D)j (R)rik{ (R) Ss kn = St (7.191a)
ИЛИ
kx kk
lAt,kisji(R) — btAfiki]Ss kJi = (7.1916)
Коэффициенты в уравнении (7.1916) симметричны относительно одно-
кк
временной замены s у. Поэтому если 6* Кл есть решение,
то и Ь] si есть решение. Сумма и разность этих двух решений также являются решениями, и самое большее из них равно нулю. Поэтому ясно, что мы можем всегда сделать так, чтобы
лА,т.АА ,_ДТіМ, ч
¦Si Л = ZxjSj ksi, (7.207а)
где ет^=±1. Комбинируя равенства (7.207) и (7.207а), получаем систему соотношений симметрии
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 315
Эги свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана имеют место для любой группы, обладающей только целыми (вещественными)I представлениями.
В случае симметрической группы мы воспользуемся ортогональным представлением Юнга—Яманучи, полученным в § 7 настоящей главы. Базисные функции этого представления мы обозначим [А,/], где X означает разбиение, а і — символ Яманучи (К-символ), нумерующий строки представления (?,). Если в аргумент входят несколько независимых функций, принадлежащих одной и той же строке представления (А,), мы будем отличать их, ставя штрих над К-символом.
Имеется несколько частных случаев, для которых можно легко найти коэффициенты Клебша—Гордана.
Во-первых, мы знаем, чго произведение (А.) X (й) содержит единичное представление с коэффициентом, равным единице, в том и только в том случае, если (А,) = (|і). Разложение полностью симметричной функции по произведениям [Я-г] [Я,у]/ почти очевидно. Базисные функции являются компонентами в унитарном векторном пространстве представления, а скалярное произведение вектора на себя дает инвариант, т. е. полностью симметрично. Таким образом,
[(я), 1 ] = -l=Y[Xi][Xi]', (7.208)
V ПХ
или
5<«)U 1 б (7.209)
У пк
где tik — размерность представления (А,). То, что выражение (7.208) полностью симметрично, также легко проверить непосредственно, применив к нему произвольную перестановку R:
R 2 [Я/] [XI]' = 2 [Xj] [XkY Dlji (R) D\i {R) =
і i, j, k
= 2 [Я-У1 [XkY 2 D)i (R) D\i (R) = j, k І
= 2 [Xj\ [Xk]'6,k = 2 [M [XjY. i,k 1 j
Во-вторых, мы знаем, что произведение (А.) X (^) содержит антисимметричное представление (Iя). Определим базисную функцию [AJ] так, чтобы она была базисной функцией представления (X), таблица которого получается из таблицы [Ал] при перестановке столбцов и строк. Например,
124 _ 136
[Ал] = 35 [Х/] = 25
6 4
316
Глава 7. Симметрическая группа
Как мы указывали в § 7 настоящей главы, можно ограничиться транспозициями рядом стоящих символов. Легко видеть, что при таких перестановках
D\y = D\} при 1ф], (7,210)
DXrT = — D)l. (7.210а)
Кроме того, заметим, что недиагональные элементы (/=?/) от-
личны от нуля лишь в том случае, если К-символы для і и j получаются друг из друга транспозицией двух соседних чисел, входящих в К-символ. Например, транспозиция (23), примененная к функции [Я,/], выписанной выше (К-символ [321211]), приводит к матричному элементу ]/3/2, соответствующему функции с К-сим-волом [321121]. Определим теперь некоторую диагональную матрицу с диагональными элементами Л/ следующим образом,
Л/= ± 1 в зависимости от того, получается ли К-символ і из К-символа, у которого все числа, означающие номера частиц, расположены в естественном порядке с помощью четного или нечетного числа транспозиций. Полностью антисимметричная функция имеет вид
[(Г), \]=-^=У, ЛЇМ ft?]'. (7.211)
V пъ I
или, через коэффициенты Клебша — Гордана,
:(i") и _ 1_ л і,
Vnk
S\>%=-7±= Afo*. (7.211а)
Имеется несколько видов симметрии, которые являются характерной особенностью симметрической группы. Их получают с помощью рассуждений, схожих с теми, которые позволили получить (7.211) и (7.211а), Мы знаем, что
WX(1")=W, [(*)?•$)],
поэтому между базисными функциями (Я) и (Я) существует взаимно однозначное соответствие. Из (7.211а) и (7,205а) имеем
sh(in) s(in) и і
ft* l I 1 ЇЙ _____ «».,
Vn% V'V) 1 ik’
