Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
„(М „(м-) „(V) „Tit, |XV
Dts(R)Dll (R)DYi(R)Ss k,i = St (7.191)
аналогичному (5.146). Мы можем также воспользоваться соотношением ортогональности, чтобы перенести D{K) в левую часть равенства (7.186) и получить
2 D{H(R)DT!(R)D{:l(R) = g 2 S^S^l (7-192)
И хк
что аналогично (5.149). Если теперь положить s=t, j = i, /= k и переставить сомножители в левой части, то вместо (5.150) мы будем иметь соотношения симметрии
2 [sW= 2 [«]2= 2 [sr^]2 = H Т. д. (7.193)
ХК хц xv
Наличие в соотношениях (7.193) сумм не позволяет нам продвинуться еще дальше, как мы это делали в § 9 гл. 5, (ввести фазы и наложить на коэффициенты Клебша — Гордана условия симметрии). Однако
мы все же в состоянии сделать это, ибо теперь (A,|j.v) >1, и мы ничем
не ограничены в изменениях фазовых множителей наших базисных
функций. Как мы уже указывали в § 8 гл, 5 [равенство (5.117)], мы можем осіавить матрицу коэффициентов Клебша—Гордана вещественной и ортогональной, не меняя при этом матриц представления D<X\R), если возьмем любые линейные комбинации базисных
функций
\рХи0_ус (7.194)
і , 5
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гороана для симметрической группы 311
коэффициенты с / которых образуют вещественную ортогональную ТЛ
матрицу
,с (7.195)
Покажем теперь, как этой дополнительной свободой в выборе базисных функций можно воспользоваться для того, чтобы наложить условия симметрии на коэффициенты Клебша — Гордана.
Перенеся в правую часть (7.186) множитель (R), получим
DTI (R) &?>-&&&.(*>ОЙ<*>• (7-196)
Для разложения произведения
о(&(Я)о*У(Я)
воспользуемся уравнением, аналогичным уравнению (7.190). Найдем
~(n) К v _(е) Лет lv
Dij(R)Ss Kji=2tSs' ikSf s'kDt’t (R) St *st. (7.197)
eTE
Последний множитель в правой части можно перенести влево, в результате чего получим
Г^(^) Г, ,4T,|XV et,lv„(e) „
Dij (R)Ss XjiSt *si = Ss' ikSt’ s'kDt’t (R). (7.198)
Из (7.198) мы видим, что матрица М с элементами
„ет„?л>
MJt = Ss KjiSt Esi (7.199)
удовлетворяет уравнению
Dfj1 (R) M)t = M,vDft (R), (7.200)
так что
m___ мп<е)
DWM = MDW. (7.200a)
По лемме Шура, M есть нулевая матрица, если представления D
/ р\
и D неэквивалентны (|і Ф є), и кратна единичной матрице, если (і = є. Поэтому выражение (7.199) можно переписать в виде
S>7iSet4]==/f <Гм,л (7.201)
Т /іц к ц,
Для упрощения последующих выкладок мы ввели в (7.201) множитель, содержащий размерности представлений. Матрица квад-
ратная, так как (цуЯ) = (Av|i). Верхние значки указывают, что матрица m зависит от X, (і, v и что мы переставили первый и второй столбцы в коэффициентах Клебша—Гордана.
312
Глава 7. Симметрическая группа
В (7.201) перенесем в правую часть второй множитель:
0|*т A.V
•Ь5 Лу1 vl п,,\„
V пх
V-
V J Sl П OAON
2d Vn ’ (7.202)
Равенство (7.202) с фиксированной матрицей определяемой
соотношением (7.201), выполняется при всех s, j и I. Умножим (7.202)
на аналогичное равенство для и найдем
6 , _ 2 mMvm(Y)v. (7.203)
ТЛ— Vn
Так как коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, матрица m(^)v вещественна и ортогональна, и ее можно использовать для преобразования базиса представления [ср. (7.194)].
Весь наш вывод можно повторить, перенеся D^/j (R) в правую
часть (7.186). Проделав это, получим равенства
= Y ^rn^bJSjt, (7.201а)
Su^v ~vtviu
= V т^х ЦЛ , (7.202а)
V пх ** Vv V nv
б , = 2 rn иТ . (7.203a)
Vx. X Vv Vv
Рассмотрим сначала случай, когда Хф\іф\. Предположим, что коэффициенты Клебша — Гордана заданы при некотором выборе базиса. Тогда (7.201) определяет матрицу v, которой мы восполь-
А, Ц,
зуемся для преобразования базисных функций Wj ^
2 -> при всех у. (7.204)
т|*
Это преобразование индуцирует преобразование
2(J.|i)v цт Iv .
гп-х.х о j si при всех j, s, I, (7.204а,)
г ^ М1
И
ТЭК что в новом базисе равенство (7.202) имеет вид
<jl*Vv
j I ___ ° ] sl
Уч УЦ
и
(7.205)
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 313
Независимо мы можем воспользоваться для преобразования базисных
(VT \
функций Ч'у матрицей т.1^, определяемой соотношением (7.201а). Новые, коэффициенты Клебша — Гордана будут в этом случае удовлетворять соотношению
= (7.205а)
У ПК У nv
Поскольку МЫ предположили, ЧТО (Хф\фХ, порядок множителей и т. д. в произведениях функций несуществен. Поэтому можно сделать так, чтобы
UjVii
о5 ]1 — I у,
S^;,=S^t. (7.2056)
Равенства (7.205) — (7.2056) заменяют собой равенство (5.151), выведенное для просто приводимых групп в § 9 гл. 5.
Теперь мы должны рассмотреть особые случаи. Предположим сначала, что A,=^n = v. Мы все еще можем выполнить первое преобразование базиса (7.204а) и получить
5 11 — 1 31 (7.206)
У Ч V Лц
но второе преобразование базиса не является более независимым и уничтожает действие первого преобразования. Действительно, эте второе преобразование не является необходимым. Так как |i = v, то симметрия коэффициентов Клебша — Гордана при перестановка второго и третьего столбцов определяется тем, содержится ли произведение функций в
[Dw х ?>(ц)] или {Dw X -DM}.
Таким образом, наш первый шаг должен был бы состоять в том, чтобы yi а какие образом,
