Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
M [A,/] [ (Г), 1]. (7.213)
§ 14, Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 317
Выразим функцию [уг] через функции (а) X (Р) [вспомните (7.174)]:
№1= hsM[aJ\mY =
],k 1
= М|!л;Л”[«ЛІИ'|(1'). !][(!“). 1]'.
і, *
[Y/l = S Л“ЛР [а/] [р*]'. (7.214)
j, k ‘ 1
где мы сначала воспользовались соотношением (7.213), а затем заметили, что [(1”), 1][(1”), 1]—полностью симметричная функция. Коэффициенты Клебша—Гордана можно перенести в левую часть равенства, в результате чего получим
[а/] [р*]' = Л“ЛР 2 Щ| т- (7.215)
Y> ^
Кроме того, имеем
[а/] №' = 2 Sftf [YH. (7.215а)
V, і
так что, сравнивая коэффициенты при ортонормированных базисных функциях в двух последних равенствах, находим
5?7Ї=Л“Л№ (7-216)
Другие формы этого соотношения симметрии мы получим, заменяя представления сопряженными с ними представлениями или же повторяя все рассуждения и беря в качестве исходного соотношение вида
т = 2 [«/1 IP*]'.
j, k 11R
Мы найдем следующие соотношения симметрии:
S|;| = AJA»S5, (7.216а)
S§=4W <7-216б>
Соотношения симметрии (7.205), (7.205а) и (7.2056) и (7.216), (7.216а) и (7.2166) позволяют нам сократить работу, связанную с нахождением коэффициентов Клебша—Гордана. Если расположить разбиения в порядке убывания от («) до (1”), то нам понадобятся лишь коэффициенты для тех произведений (^) X ОД где (|і) расположено после разбиения (^), но не дальше, чем самосопряженные разбиения числа п.
Теперь мы хотим убедиться в том, что этот метод заменяет хорошо известные рекуррентные формулы, существующие для группы
318
Глава 7. Симметрическая группа
вращений. При рассмотрении этой задачи нет необходимости указывать в явном виде ту систему функций которой мы пользуемся.
Поэтому вместо того, чтобы прибегать к обозначениям (7.189), мы можем записать преобразование D“ X в клеточно-диагональном виде
2 S&aac(R)D%(R)Slkfg = D]k(R)6yk. (7.217)
a, e,c,g
Для строк различных представлений нам требуются более подробные обозначения, и поэтому мы будем при записи коэффициентов Клебша — Гордана пользоваться двойными индексами, например S]jabe/¦ Первая буква в каждой паре индексов означает первый символ из числа входящих в К-символ, а вторая буква означает остальные символы, входящие в К-символ. В эгих обозначениях (7.217) можно записать следующим образом:
2 S]jab%Dab,cdDlf,ghSllcdgh = Dlj,kfiyk- (7.217а)
ab, ей et, gh
Сначала мы ограничимся перестановками, входящими в симметрическую группу и действующими на п — 1 символ, т. е. перестановками, оставляющими на месте последний символ. Для таких перестановок (7.77) в наших новых обозначениях запишется в виде
Пааь,ы = ПаьаАс' (7.218)
где аа — представление симметрической группы, действующей на п — 1 символ, которое получается из а выбрасыванием последнего символа из строки а схемы. (Это не что иное, как правило ветвления.) Подставляя в (7.217а) вместо величин D их выражения вида (7.218), получаем
2 5/. “ 6 S.?-“ р. = ГШ.Ъ . (7.219)
abed 1“bef bd fh ас eg klcdgh ]l Ik yX v '
ej, gh
либо
s ° a.v <7-219a>
ej\ ft
Для симметрической группы степени п — 1 мы можем написать также уравнение вида (7.217а):
2 S^'fDtdD^S^h = (7.220)
db, fh
где штрихи служат напоминанием о том, что эти разбиения являются разбиениями числа п— 1, а нижние значки служат (п — 1)-местными
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 319
К-символами, соответствующими вторым индексам в (7.217а). Перенеся некоторые члены в (7.220) в правую часть, получим
(7.220а)
Подставим (7.220а) в (7.219а), выбрав а' = аа, |}' = ре, н найдем
2 = .V (7.221)
ab, d, ef, h Y\Р,4
jl ik yV
Сначала перенесем последний множитель вправо: 2 “ Р -v'a"|3'>nV' cV'a„P,
b.f
(jabej b j pq° q d h
V a |3 уї° tladeh’
затем мы можем еще раз перенести вправо последний множитель:
(7.222)
у 5 V a Р 5V'aaS Dv' = V ?,V/5 Y « Р?, -а,е ^tjabej^ р b fu pq -41. Л ”-J-t
b,f,P , HI
Теперь мы можем определить матрицу "Y ар
V а р 9Y'aaPe iladeh q d h ‘
mjp
J a e.
Равенство (7.222) означает, что
___V CV a P cY'aaP
Zj і jabej p b J
b,f
(7.223)
или
ljp^P4
MDV' = DJjM.
(7.224)
Применяя леммы Шура, получим, что матрица М = 0, если у'фylt или кратна единичной матрице, если y, = Y/; следовательно,
a (3
а е
(7.225)
или же, перенося второй множитель в правую часть, получим
Y a f
с V а р __ „
° I jabej —^ і а е
Уравнение (2.226) означает, что матрица
к’1 ° р
SVA.
1 ь j
(7.226)
320
Глава 7. Симметрическая ipyirna
позволяет нам получать коэффициенты Клебша — Гордана для п, зная коэффициенты Клебша — Гордана для п — 1. Таким образом, (7.226) заменяет соответствующую рекуррентную формулу для группы вращений. Изучим свойства матрицы К. По аналогии с (7.226) запишем:
"Y а Р"
і' а г
'Y' «Р 5 і'j’abef
= к
CYraaPe І’ b / •
V С V' « i> C Y <* P________V is
Zj I' j'ubej^I jabef— Zj A ab,ef a, г
У а р К Y а р"
і
а е у а е
перемножим это уравнение и (7.226) и просу? мируем по ab и ef\
X
X"ESyja^/Syj;ab^. (7.227' Применяя к обеим частям равенства условие унитарности, получаем
Y а р "
