Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
J г|з/ф d?2 — 0.
§ 9. Групповая алгебра
Несмотря на то что метод Хунда прост, он не очень эффективен при конструировании функций наперед заданного типа симметрии. Чрезвычайно мощный метод рассмотрения симметрической группы, который, как мы увидим в одной из следующих глав, позволяет нам также находить представления групп линейных преобразований в «-мерном пространстве, был разработан Юнгом и Фробениусом. Этот метод основан на общей процедуре анализа структуры конечной алгебры. Понятием групповой алгебры мы воспользовались в § 17 гл. 3, но большую часть теорем о представлениях мы доказывали другими методами. В гл. 3 мы избегали этого алгебраического метода, поскольку большинство физиков без всяких к тому оснований настороженно относятся к этому жаргону и формализму. В данном параграфе мы изложим этот метод в общих чертах. Для придания некоторым из наших утверждений большего правдоподобия мы будем ссылаться на результаты гл. 3, а для того, чтобы избежать излишней абстрактности в изложении, мы воспользуемся в качестве примера симметрической группой.
Начнем с симметрической группы и рассмотрим перестановки как операторы, действующие на функцию п переменных ф(1, ..., я). В результате транспозиции (If) мы получаем некоторую новую функцию
^/)Ф(1.......L.......J.......я) = ф(1........j.......I......я). (7.129)
Так как транспозиции порождают группу. Sn, равенство (7.129) говорит нам о действии любого оператора перестановки на функцию ф. Если ф!, . . ., фя — независимые функции, зависящие от одного набора переменных, то в качестве ф мы можем выбрать произведение функций
Фї (1) Фй(2) ¦ • ¦ Фя(я).
284
Глава 7. Симметрическая группа
где 1.......я означают я различных наборов переменных. Тогда
{if) ф,(1) ... фДО ... фу (У) ... фл(«) =
= ф, (1) ... фг (у) . .. ф j{l) ... ф„ (я). (7.129а)
Применяя операторы перестановки R к функции ф общего вида, мы получим совокупность, состоящую из я! линейно независимых функций /?ф. Если теперь мы составим линейные комбинации этих функций, то ролучим векторы
лс=2лсл(Лф) (7.130)
R
в векторном пространстве, имеющем размерность я!. Коэффициенты xR являются координатами функции л: относительно базиса, образованного функциями /?ф.
Если оператор перестановки 5 применить к функции л: в (7.130), мы получим новую функцию
х' = Sx = 5 2 xR (/?ф) = 2 XRS (Яф) : 2 *д5/?ф.
R R R
Положив SR = T и R = S~lT, будем иметь
х' = 2
f о /
а сравнивая с
х'= 2
Т
найдем
jc'=jcs_,r. (7.131)
Формула (7.131) сопоставляет каждой перестановке 5 некоторое
линейное преобразование в я!-мерном векторном пространстве. (В § 17 гл. 3 мы рассматривали только такие векторы л:, которые имеют ровно одну ненулевую компоненту, и получали регулярное представление группы.) Ясно, что оператор asS будет представлен линейным
преобразованием
х' = а~х , (7.131а)
S Г’
а сумма S~\-U двух операторов перестановки—преобразованием
х'= х -\~Х -I , (7.1316)
т s т и т '
откуда следует, что оператор общего вида
5=2 «s5 6'
§ 9. Групповая алгебра
285
будет представлен преобразованием
х'т= 2(W1r = (7-13 2)
Рассматривая выписанные только что соотношения, мы замечаем, что наличие функции ф, являющейся тем объектом, на который мог бы действовать оператор, было несущественным для результатов. Из элементов R любой группы порядка g мы можем построить g'-мерное линейное векторное пространство векторов
x=2iXRR, (7.130а)
R
где xR — координаты вектора л: относительно базиса, который получается, если в качестве базисных векторов взять сами элементы
группы. Вектор 2 = ал:-|-ру имеет компоненты
zr = axR Н~ РУд- (7.133)
Произведение двух векторов также принадлежит рассматриваемому векторному пространству:
х = 2 xrr, у = 2 ysS’
R s
Z = (ху) = 2 xRysRS = 2 (2 xrs-^s)T = 2 (2 V1/-) T-
так что
(*У)г = 2хм-1У* = 2**Ув-1г (7.134)
Линейное векторное пространство, замкнутое относительно некоторого закона умножения, называется алгеброй. В нашем случае, поскольку закон умножения берется из закона композиции группы, который ассоциативен, групповая алгебра А является ассоциативной алгеброй.
Линейное преобразование (7.132) даег нам некоторое представление групповой алгебры А. Это представление регулярное.
Любое представление группы О автоматически дает некоторое представление алгебры А. Если
s = 2 a gS, s
то
D(s) = 2asD(S). (7.135)
s
Наоборот, любое представление алгебры А задает некоторое представление группы О. Кроме того, если одно из этих представлений
286
Глава 7. Симметрическая группа
приводимо (или неприводимо), то этим же свойством обладает и другое представление.
Из гл. 3 мы знаем, что регулярное представление (7.132) вполне приводимо и содержит каждое неприводимое представление с кратностью, равной размерности этого представления.
Под подалгеброй В алгебры А мы понимаем линейное векторное пространство, содержащееся в А я замкнутое относительно умножения, заданного в алгебре А.
Если подалгебра В обладает тем свойством, что для любого и из В и любого элемента s всей алгебры А элемент su снова принадлежит В, то В называется левым идеалом.
