Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
(4, 3) 14 4 —1 2 —2 1 —1 0 0 2 0 —1 —1 1 0
(4, 2, 1) 35 5 —1 —1 —1 —1 0 1 1 —1 1 —1 0 —1 0
(З2, 1) 21 1 —3 1 —1 1 1 —3 —1 0 0 1 1 —1 0
(4, 13) 20 0 2 —4 0 0 0 0 2 0 0 —1
(3, 22) 21 —1 —3 1 1 —1 1 3 —1 0 0 1 —1 1 0
(3, 2, Р) 35 —5 —1 —1 1 1 0 —1 1 —1 —1 —1 0 1 0
(23, 1) 14 —4 —1 2 2 —1 —1 0 0 2 0 —1 1 —1 0
(3, И) 15 —5 3 —1 —1 1 0 3 —1 0 0 —1 0 —1 1
(22, I3) 14 —6 2 2 0 —1 —2 0 —1 1 —1 0
(2, I5) 6 —4 3 2 —2 —1 1 0 0 0 0 —1 1 1 —1
(I7) 1 —1 1 1 —1 1 —1 1 1 —1 1 —1 1
326
Г лава 7. Симметрическая группа
При малых п таблицы коэффициентов Клебша — Гордана можно выписать в явном виде, не затрачивая при этом слишком много труда. Например, полная таблица для произведения (2, 1) X (2, 1) = (3) — -t~(2, 1) + (13) выглядит так:
[211]. [211]' [211]. [121]' [121]-[211]' [121]. [121]'
[321]
[211]
[121]
[111]
О 1//2 —1//2 О
І/УТГ 0 0 —1//2
О -1//2 —1//2 О
1//2 0 0 1//2
(7.235)
Как пример более сложного случая мы приведем таблицу коэффициентов Клебша — Гордана для
(З, 12) X (3, I2) = (5) —)— (4, 1) + 2(3, 2) + (3, 12) +
+ 2 (22, 1) + (2, 13) + (15)
(табл. 30). В качестве двух систем функций для произведения (3, 2) были выбраны частные решения рекуррентных уравнений. Вместо них можно взять любые две независимые линейные комбинации.
ГЛАВА 8
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
§ 1. Краткий обзор результатов, полученных для конечных групп
До сих пор мы ограничивались рассмотрением одних лишь конечных групп, т. е. групп, состоящих из конечного числа элементов. Рассмотренные нами точечные группы симметрии были конечными подгруппами группы зеркальных поворотов в трехмерном пространстве, а найденные нами представления были конечными подгруппами матричной группы в «-мерном пространстве. Группы симметрии многих физических систем состоят не из конечного, а из бесконечного числа элементов. Например, кристаллическая решетка остается неизменной при действии бесконечного (со3) набора трансляций. Гамильтониан электрона, находящегося в центральном поле, инвариантен относительно всех вращений. Таким образом, задачи физики приводят к необходимости изучения теории представлений групп с бесконечным числом элементов.
Для рассмотрения таких бесконечных групп имеется еще и другая причина. Отыскивая представления точечных групп, мы нашли гомоморфное отображение элементов точечной группы Н в группу Н' матриц га-го порядка. Но точечная группа Н является подгруппой группы й зеркальных поворотов. Поэтому если мы найдем какое-нибудь представление группы О с помощью матриц G' п-го порядка, то мы тем самым получим некоторое представление ее подгруппы Н в виде подгруппы Н' группы Q'.
Наша задача состоит в том, чтобы перенести на бесконечные группы те теоремы о представлениях конечных групп, которые были нами уже выведены. Чтобы облегчить рассмотрение возникающих при этом проблем, мы сначала дадим краткий обзор результатов по конечным группам в таком виде, в котором эти результаты легко будет обобщить и на бесконечные группы.
Конечная группа О порядка g состоит из g элементов Rx.......Rg.
Мы можем рассматривать эти g элементов группы как совокупность „точек"—групповое многообразие. Кроме того, мы можем перенумеровать точки некоторого множества целыми числами от 1 до g и каждой точке в таком пространстве сопоставить некоторый з іемент группы; например, точке, обозначенной числом а, мы поставим в соответствие элемент группы Ra (иначе говоря, перенумеруем элементы группы с помощью параметра, принимающего g значений). Если
328
Ґлава 8. Непрерывные группы
в произведении RbRa число а фиксировано, а элемент Rb пробегает всю группу О, то произведение Rc также пробегает всю группу. Суть таблицы группового умножения состоит в том, что она указывает при всех значениях а и b значение параметра с, которому соответствует произведение RbRa = Rc. Можно сказать, что групповая таблица определяет функцию
с = ф(а, Ь). (8.1)
Параметр, соответствующий произведению элементов группы, есть функция параметров, соответствующих сомножителям.
На групповом многообразии мы можем задавать функции. Так, каждому элементу Ra (или каждому значению а дискретного параметра) мы можем ставить в соответствие некоторое число f(Ra), или же /(а). В этом случае наши функции будут определены в g точках (ранее мы называли такие функции векторами в нашем ^-мерном пространстве). Например, при рассмотрении теории представлений величины
Dfj)(Ra) = DTj>(a)
при фиксированных ц, I, j были функциями, заданными на групповом многообразии. Точно так же при заданном ц характеры
ЦОрожДяли функции класса X(,i)(a)> заданные на Групповом многообразии. Характеры обладали особым свойством: определяемая ими функция принимала одно и то же значение на всех элементах, принадлежащих одному и тому же классу. Таким образом, функция Х^Ча) есть функция класса, т. е. такая функция, что
Х<^(Ф(я. Ь)) = %М(<р(0, а)) (8.2)
при бсех а и Ь.
В § 11 гл. 3 мы доказали, что всякое представление конечной группы эквивалентно некоторому унитарному представлению. Кроме того, мы смогли показать, что любое представление конечной группы вполне приводимо и выражается через неприводимые унитарные представления. Неприводимое унитарное представление Dразмерности п задает на групповом многообразии п? унитарно-ортогональных функций Df)(а) (t, j = 1........tty). Функции, определяемые различными
