Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
ш
[а
имеет вид
и (1) и (2) v (1) v (2)
Случай я = 3.
Полностью симметричная функция имеет вид /, = ^ [и (1) г» (2) и (3) + и (1) v (3) w (2) + и (2) г» (1) w (3) +
—(— и (3) v (2) w (1)+ и (2) v (3) w (1) —|— и (3) v (1) w (2)], а полностью антисимметричной функцией является определитель
и(1) и( 2) И(3)
г» (1) v (2) г,(3)
w(\) w (2) 'ш(З)
/г —
_1_ У б
Чтобы найти базисные функции двумерного представления, воспользуемся операторами У и К' § 10 настоящей главы и получим
/з =-?>- Iм(1)^(2)«>(3)—(—и(2)г»(1)‘ш(3)—и(3)^(2)и)(1)—м(2)'и(3)та(1)]= = 1 [v (2) [и(l)w (3) - и (3) ® (1)} + и (2) (1) w (3)—v (3) w (1)}];
fi=\ lu(l)v(2)w(i)—u(2)v(l)w(di)-{-uCi)v(2)w(l) — u(i)v(l)w(2)].
Задача. Пользуясь операторами Юнга § 10 настоящей главы, постройте линейные комбинации произведения волновых функций четырех частиц и составьте таблицу базисных функций неприводимых представлений группы S4.
§ 11. Построение произведения волновых функций
295
Мы предполагали, что все одночастичные волновые функции и, v, . ¦ ¦ различны. В этом случае мы имели возможность, применяя подходящие операторы, получать все возможные типы симметрии. Во многих физических задачах число различных одночастичных состояний ограниченно. Например, если рассматривать спиновую функцию многоэлектронной системы как составленную из произведений одночастичных функций, то возможны лишь два спиновых состояния. Точно такие же ограничения применимы и к системам тождественных частиц со спином, отличным от !/2. Дія нуклонов возможны лишь четыре одночастичных состояния (спин и изотопический спин). Если число одночастичных состояний ограниченно, могут появляться не все неприводимые представления. Мы кратко остановимся на этом здесь и вновь вернемся к этой задаче при рассмотрении физических приложений.
Предположим, что мы имеем систему из я эквивалентных частиц. Если возможно одно одночастичное состояние, го необходимо, чтобы произведение волновых функций, которое мы выбираем за исходное, имело вид
и (1) и (2) ... и (я). (7.152)
Эта волновая функция уже полностью симметрична, так что един-
ственным представлением, которое может появиться, является представление, соответствующее разбиению (я).
Предположим, что возможны два одночастичпых состояния, и к v. Начнем с произведения функций
и (1) . .. и (m) v (m + 1) ... v (я), (7.153)
или (в обозначениях метода Хунда) с
ф([1 . . . т] [/и —(— 1, ..., я]). (7.153а)
Допустимые неприводимые представления можно получить двумя способами. Мы видим, что нельзя построить таблицы, где число строк больше двух, так как любой ангисимметризатор, действующий на
более чем две частицы, обращает функцию (7.153) в нуль. По сути
дела те же соображения применимы и к функции (7.153а) в методе Хунда.
Аналогичным образом мы не сможем получить разбиение более
чем с k строками, если число различных одночастичных состояний
равно k. (В ядерных задачах для зарядово-спиновой функции встречаются разбиения, у которых имеется самое ботьшее четыре строки.1
При построении координатных волновых функций с определенной симметрией для я-электронной задачи Фок использовал метод, заключающийся в наложении на функцию ф следующих условий:
1) антисимметрии по первым k аргументам (k > я/2),
296
Глава 7. Симметрическая группа
2) антисимметрии по остальным п — k аргументам,
3) циклической симметрии:
*
е — 2 (я0 Ф = 0. і = і
(7.154)
Легко показать, что функция ф с антисимметрией в смысле Хунда типа A — k}) удовлетворяет этим трем условиям. Соответ-
ствующая ей таблица имеет вид
1
к + I
(7.154а)
к
Ясно, что функция ф, имеющая нормальную форму A(k-{-{ti — k}), удовлетворяет условиям 1 и 2. Оператор (7.154) совпадает с оператором, который фигурировал у нас в (7.126). Как мы там показали, этот оператор, будучи применен к ф, дает функцию, антисимметричную по k-{- 1 аргументам 1, 2...........k, п. Так как функция ф
имеет нормальную форму A — k}), где /г^-я/2, то полу-
чающаяся функция должна быть тождественно равна нулю.
Условия Фока можно сформулировать и в общем случае. Функция ф обладает определенной симметрией (т. е. является базисной функцией одного из неприводимых представлений группы Sn), если
1) она антисимметрична относительно набора, состоящего из аргументов, антисимметрична относительно другого набора, состоящего из Х2 аргументов, и т. д.,
2) в разбиении (^)
^1 ^2 ^1 ‘ ‘ * И Т. Д.
функция ф удовлетворяет условиям циклической симметрии
\е— 2 (ад:)1ф = 0, (7.155)
L а принадлежит J
где л: принадлежит Xj при всех комбинациях Xt и Xj, при которых А,; ^ Xj.
И снова соображения, вытекающие из формулы (7.126), показы* вают, что функция, имеющая нормальную форму Л(^,-)-^2-)- ...),
§ 12. Внешние произведения представлений
297
удовлетворяет условиям Фока. Операторы (7.155), будучи применены к ф, порождают функции вида
А (^1 + ••• +(^;+1)+ ••• +(^/—1)+ • • •)•
Поскольку функция ф имела нормальную форму, все эти функции тождественно равны нулю.
Приведенные выше общие условия оказываются весьма полезными при выяснении симметрии какой-нибудь конкретно заданной функции.
