Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
базис некоторого представления унитарной группы 5?/(2/-|-1) и d то же время образуют базис некоторого представления группы вращений 0^(3). При j = l (целое число) равенство (11.6) показывает, что симметрическая билинейная форма (скалярное произведение) ;
т = -1
приводит к сложению моментов количества движения двух частиц и к полному моменту количества движения L = 0. В пространстве тензоров трехмерные вращения будут индуцировать линейные преобразования, но функция гРі=0, определяемая соотношением (11.9), останется неизменной. Существует, однако, гораздо более широкая группа преобразований, которые оставляют инвариантным скалярное произведение (11.9). Скалярное произведение (11.9) является симметрической билинейной формой, заданной на векторах (21 -(- 1)-мерного пространства. Поэтому оно инвариантно относительно ортогональных преобразований группы 0+ (2/ —(— 1), которую мы рассматривали в гл. 10. Операция (11.9), которая связывает орбитальные функции двух электронов и приводит к полному моменту количества движения Z, = 0, понижает ранг тензора на 2. Эга операция инва-
риантна относительно преобразований группы О4 (2/ —(— 1). Операция (11.9) взятия скалярного произведения представляет собой не что иное, как операцию свертки, введенную нами в § 5 гл. 10.
Мы видим теперь, что произведения функций ф^Н]/?* служат пространством представления для трех групп:
SU(2l+ 1)=эО+(2/+ 1)=эО+(3).
Произведения ф^фФ можно сначала разложить на неприводимые представления [2] и [11] группы SU (2/ —(— 1). Для функций, относящихся к представлению [2], мы можем воспользоваться операцией свертки (11.9) и разложить пространство этих функций на две части: на тензоры нулевого ранга (ф(]) • ф(2)) и тензоры второго ранга с нулевым следом. В § 5 гл. 10 эти части обозначались Ф и F°. Таким образом, представление [2] группы SU(2l-\-\) разлагается на представления (00) и (20) группы О + (2/ —(— 1).
Скалярное произведение (11.9) симметрично и приводит к /, = 0. Соответствующая спиновая функция для двух электронов должна быть антисимметричной и обладать симметрией схемы [11] с 5=0. Поэтому процесс свертки (11.9) связывает два электрона, в результате чего возникает ]5-состояние.
Следующий этап классификации состоит в разложении представлений группы О' (2/-|-1) на представления группы вращений 0і (3).
500 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Разложение момента количества движения
SU (21 + 1) 0+ (21 + 1) 0+ (3)
выполняется без особого труда: представление [2] содержит L=2l,
21 — 2....... 2, 0. Подпространство (00) содержит только L= 2,
поэтому подпространство (20) содержит L = 2l, 21 — 2..............2. Функ-
ции, принадлежащие представлению [11], при свертке обращаются в нуль. Следовательно, они принадлежат представлению (11) группы 0+ (2/ —(— 1). Возможными значениями для L служат L=2l— 1, 21 — 3, . . З, 1.
Мы получаем следующую классификацию для двух частиц:
SU (21 + 1) 0+(2/+1) 0+( 3)
[2] (20) L~ 21. 21-2.......2;
[2] (00) L — 0;
[11] (11) L = 2l — 1, 21 — 3.......З, 1.
Рассмотрим далее систему четырех электронов в конфигурации (О4. Операция (11.9), будучи примененной к функциям
ф'')ф'2)ф'3)ф<‘1),
порождает члены вида
(ф(>) . ф<2>) ф(3)ф(4). (11.11)
*3 ^4
Они соответствуют комбинации волновых функций двух электронов, находящихся в '.S-состоянии, с тензором второго ранга, образованным из функций другой пары электронов. Если мы снова прибегнем к свертке, то получатся члены вида
(ф(1> • ф<2))(ф(3) . ф(4))> (11.12)
т. е. комбинация ^-состояний, представляющая собой тензор нулевого ранга и обладающая L = 0.
Если в качестве исходного взять неприводимое представление [22] группы S?/(2/+l), то свертка приведет к разложению его на представления (00), (20) и (22) группы О+ (2/ —|— 1). Функции, принадлежащие представлению (00), имеют вид (11.12). Функции, принадлежащие представлению (20), имеют вид (11.11) и являются произведением тензора с нулевым следом, построенным из функций двух электронов, и тензора ^-состояния другой пары. Разложение момента количества движения следует из этих утверждений и результатов, полученных для двух частиц. Функции представления (00) должны иметь L = 0. Функции представления (20) имеют L — 21, 21 — 2........... 2. Чтобы найти разложение момента
Таблица 61
Орбитальный момент
количества движения
Старшинство
Полный момент
количества движения L
Спин |Я.) S
Мультиплет
г = 0 [0] (00) 0 0 10]
r= 1 [1] (10) 1 2 [1]
r = 2 [2] (00) 0 0 [И]
(20) 2 4, 2 Г1?]
[И] (И) 2 3, і И
г = 3 [21] (10) 1 2 [21]
(21) 3 5, 4, 3, 2, 1 [21]
[ПІ] (П) 2 3, 1 [З]
г = 4 [1111] (10) 1 2
[211] (11) 2 3, і 31
(21) 3 5, 4, 3, 2, 1 31
[22] (00) 0 0 22
(20) 2 4, 2 22
(22) 4 6, 4, 3, 2, 0 22
г = о [11111] (00) 0 0 И
[2111] (11) 2 3, і [41]
(20) 2 4, 2 [41]
221 (10) 1 2 [32]
(21) 3 5, 4, 3, 2, 1 [32]
(22) 4 6, 4, 3, 2, 0 [32]
2
о
0
1
2
2
2
_3
2
2
1
1
О
О
о
_5
2
_3
2
_3
2
2
2
2
j_
2
>5
2D
'S
'D, >G
ър ър
2D
2Р, 2D, 2F, 2G, 2Н
