Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим пространство тензоров ранга г с компонентами Fil ... iT¦ Для симплектических преобразований а, пользуясь преобра-
В результате операции свертки получается тензор (г — 2)-го ранга. Свертка коммутирует с симплектическими преобразованиями. Если а —симплектическое преобразование, то
Процесс свертки (10.79) можно применять к любой паре индексов,
Выберем такие тензоры л-го ранга, у которых следы по всем парам индексов равны нулю. Равенство (10.80) показывает, что
зованием (10.65) в каноническом базисе, получим
eklakial] — e'lj-
(10.78)
Из тензора Filii...ir, умножая его на е//2 и суммируя по г, и г2. можно построить след по паре индексов (12):
F
(10.6)
(10.80)
в результате чего мы получим г (г—1)/2 следов F^ тензора л-го ранга.
480
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
подпространство таких тензоров с нулевым следом инвариантно относительно преобразований, индуцированных группой Sp(n). Каждый тензор F/j.../ можно однозначно разложить на тензор F0 с нулевым следом плюс тензор вида
ф, /=в//ОУ2) , +
Ч ••• *Г 12 *3 ••• 1т
+ е/ / і ..її I 4- • • • [Г (rrJ) членов)- (10.81)
а р 1 а-Га+1 "•‘р-гр+1 •”‘г \ ^ )
Доказательство в этом случае полностью совпадает с доказательством, приведенным в § 5 настоящей главы. Мы получаем разложение пространства тензоров в прямую сумму инвариантных подпространств:
= v (10.82)
Инвариантность подпространства 2 тензоров Ф, имеющих вид (10.81), доказывается аналогично (10.37). При симплектических преобразованиях каждый член в сумме (10.81) переходит в член того же вида
I I ' ' ' I ^ l^lj * * * ^7 / / —
Vi 2'2 т]т\ '1'2 'з"- Jr) 12 ‘з'з lr‘r
= eM0</2)' (10.83)
*12 3 "• Г
Метод отыскания тензора с нулевым следом аналогичен тому, который использовался при рассмотрении группы 0(п). Например, при г = Ъ запишем тензор Fij2ia в виде
FW. = + "/Д А + V/./, + V/./.* ^1 ° -84^
Требование обращения в нуль следа тензора F0 приводит к уравнениям:
След по паре индексов (12): F^*) = nHii—Kt,—Цг,
След по паре индексов (31): Ff^=—Ні2-\-пКі2 —Ц2.
След по паре индексов (23): /?</13) = — —/С^+яА/,.
Решая их, найдем
Н> = Ь* ¦- 1> ^ ^^
Kt = I+ (»-!) № + (10•84а)
к = wJk-2 + (л ~ 1)
§ 9 Неприводимые представления группы $р(п)
481
§ 9. Неприводимые представления группы Sp («). Разложение неприводимых представлений группы U(») на представления ее симплектической подгруппы
Точно так же, как в случае ортогональной группы, перестановка индексов переводит один тензор с нулевым следом в другой тензор с нулевым следом. Если принять за исходное инвариантное подпространство тензоров г-го ранга с нулевым следом, то, применяя симметризаторы Юнга, мы сможем разложить его на подпространства тензоров с нулевым следом, обладающих симметрией определенного типа. Действуя так, мы придем к неприводимым представлениям группы Sp(ri).
Каждому неприводимому представлению группы Sp(ri) соответствует схема Юнга [Я., ... А.„], где Я-, —(— Я,2 —(— ... +Я,„ = г. Однако не все схемы допустимы. Мы докажем, что тензоры с нулевым следом, соответствующие схемам Юнга, число строк в которых больше v = л/2, тождественно равны нулю. Чтобы доказать эту теорему, покажем, что тензоры, соответствующие схемам, содержащим больше чем п/2 строк, должны иметь вид (10.81). Нам необходимо рассматривать только индексы в первом столбце схемы. Поэтому мы предположим, что тензор Ft ... im антисимметричен по индексам 1Х .. . im, где m>v = «/2. Как мы показали в § 2 настоящей главы, такой тензор является суперпозицией тензоров вида (10.14), т. е. [х(Ч .. ,х(т>].
Добавим к этому множеству векторные переменные y(m+1)...........у(л)
и построим определитель
[Х(г> . . . x(m>y<m+I) . . . у(">]. (10.85)
Компоненты тензора
[хО> . .. х<т>] будут коэффициентами при одночленах
Из соотношения (10.77) определитель (10.85) можно записать
в виде суммы членов, в которых векторы х(')..........х<™>, у(т+1>,..., у(л)
взяты попарно, а в полученном тензоре произведена свертка. По-скольку m > v, по крайней мере одно косое произведение в каждом члене, стоящем в правой части соотношения (10.77), должно содержать только векторы х, что приводит к появлению множителя є. . в результате чего такой член будет иметь вид (10.81).
a'l? ‘а ‘р
Следовательно, если m > v, то след тензора равен нулю. [На самом деле мы доказали даже нечто большее: число сомножителей в правой части (10.77), в которых векторы х входят парами, должно быть по крайней мере равно (m—v), вследствие этого каждый член в правой части (10.77) имеет по крайней мере (m,—v) множителей е;у-.]
482
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Из этой теоремы следует, что мы можем ограничиваться схемами, содержащими самое большее v строк.
Тип симметрии для неприводимых представлений группы Sp(n) будем обозначать символом (с^ ... av), где ^ сг2 ^ ... av 0. Базисом этого неприводимого представіения служат тензоры с нулевым следом, симметрия которых задается символом [cTj ... ov]. Размерность представления (а, ... av) группы Sp(n) задается формулой
С == 1
V
ТІ (Рг — qft + fe — 0(q;+g/t + 2v + 2 — г'~к) п п Х 11 (k — г) (2v -4-2 — і — k) ’ tlu-8DJ
