Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
[4411] . 7 7 11 9 11 7 7 4 3 1 1 700
[4321] 4 10 14 18 18 15 13 9 5 3 1 1024
[4222] 2 1 5 3 5 3 3 1 1 200
§ 2. Разложение момента количества движения
493
Разложения для /= 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2 приведены в табл. 53—58. В этих таблицах мы привели разложения лишь для разбиений с A.J ^ 4 при целом J и A.J ^ 2 при полуцелом у.
Таблица 56
Конфигурация (J)T. Разложение момента количества движения
у=|, SU (6)
m ] W(IM
0 [0] 0 1
1 [і] 5 2 6
2 [2] 1. 3, 5 21
[П] 0, 2, 4 1 3 / 5 \J / 7 \2 9 11 13 15
3 [21] 2 * 2' (2) * (т) ’ T* T’ 2 70
[ПІ] 3 5 9 2 ' 2 ’ 2 20
4 [22] (0)“, (2)3, 3, (4)3, 5, (6)2, 8 105
[211] (l)2, (2)2, (3)3, (4)2, (5)2 6, 7 105
5 [221] МЧ4Г •(«'•№)•• /13\2 15 17 \ 2 ) * 2 * 2 210
[2111] 1 f7\2 l'9^2 11 13 2 ’ \2 J \ 2 J ’ \2/ ’ \ 2 J ’ 2’ 2 84
6 [222] (l)3, 2, (З)^, (4)2, (5)3, (6)2, (7)2, 9 175
[2211] (0)2, 1, (2)5, (3)3, (4)5, (5)2, (6)3, 7, 8 189
[21111] 1, 2, 3, 4, 5 35
При составлении таблиц для больших значений / следует использовать прямой метод разложений разбиений вида [1г], подробно описанный в § 5 настоящей главы.
Задача. Составьте таблицу разложений для j = 3/2.
Таблица 57
Конфигурация (J)r. Разложение момента
количества движения
J — 3, SU (7) для г < 4
J = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
лг([М)
0 [0] 1 1
1 [1] 1 7
2 [2] 1 1 1 1 28
[П] • 1 1 1 21
3 [3] 1 2 1 1 1 1 1 84
[21] 1 2 2 2 2 1 1 1 112
[111] 1 1 1 1 1 35
4 14] 2 2 1 3 1 3 1 2 1 1 • 1 210
[31] 3 3 5 4 5 4 4 2 2 1 1 378
[22] 2 4 1 4 2 3 1 2 1 196
[211] 3 2 4 3 4 2 2 1 1 210
Таблица 58
Конфигурация (j)r. Разложение момента количества движения
І = у , SU (8) для г < 4
N{\X\)
0 [0]
1 [1]
2 [2]
[И]
3 [21]
[111]
4 [22]
[211]
[1111]
YL
2
2
_ _ _ _ _____ J5
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2
О3, 2\ З2, 45, 52, 65, 72, 83, 9, 102, 12
I3, 23, 35, 41 55, 64, 7\ 82 , 92, 10, 11
0. 22, 42. 5, 6, 8
36
28
168
56
336
378
70
§ 3. Принцип Паули
495
§ 3. Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи Рассела—Саундерса
Прежде чем применять результаты предыдущего параграфа к физическим задачам, следует ввести еще одно условие. Принцип Паули гласит, что полная волновая функция системы электронов должна быть антисимметричной относительно любой их перестановки. То же утверждение остается в силе для любой системы тождественных частиц с полуцелым спином [т. е. частиц, у которых спиновые волновые функции образуют базис неприводимого представления группы 0+ (3) с полуцелым У]. Полная волновая функция для систем тождественных частиц с целым спином должна быть симметричной относительно любой их перестановки.
В случае многоэлектронных атомов в нулевом приближении мы рассматриваем одночастичные состояния в некотором усредненном центральном поле. Состояние одного электрона характеризуется квантовыми числами п, I, mh ms. Первое квантовое число задает энергию, числа / и mt нумеруют базисные функции представления группы вращений, связанной с орбитальным (внешним) движением, а число ms нумерует базисные функции представления группы
вращений, связанной с внутренним движением (спином). Возмущение состоит из кулоновского взаимодействия между электронами и членов, зависящих от спинов электронов.
Дня легких атомов члены, зависящие от спинов электронов, вносят в энергию малый вклад по сравнению с вкладом от кулоновского отталкивания. Приближенный метод, в основу которого положено это предположение, носит название схемы связи Рассела — Саундерса (L — 5-связи). В схеме L — 5-связи мы рассматриваем орбитальные волновые функции и спиновые функции электронов отдельно. Если имеется г электронов в одночастичных состояниях с моментом количества движения /, то произведение орбитальных волновых функций при преобразованиях группы SU (2/4-1) будет вести себя как тензор г-го ранга. Так как кулоновское отталкивание симметрично относительно координат всех электронов, энергия кулоновского взаимодействия будет сильно зависеть от симметрии координатной волновой функции. Итак, соответствующие задаче линейные комбинации являются неприводимыми тензорами г-го ранга. Мы видим, что в общем случае состояния с более высокой орбитальной симметрией будут обладать большей энергией: если волновая функция симметрична относительно некоторой пары частиц, то кулоновское отталкивание между ними будет значительным; если же волновая функция антисимметрична относительно какой-нибудь пары частиц, то кулоновское отталкивание между ними будет малым.
В то же время мы должны комбинировать внутренние (спиновые) волновые функции электронов г. Для одного электрона BO/IHQBbie
496 Глава 11 Применение теории групп к атомной и ядерной физике
функции образуют базис некоторого представления группы SU (2), поскольку _/ = 1 /2, 2_/ —1 = 2 Для г электронов мы должны составить тензоры r-го ранга определенной симметрии.
Наконец, чтобы получить полную волновую функцию, мы должны перемножить пространственные и спиновые волновые функции. Но по принципу Паули полная волновая функция должна быть полностью антисимметричной. Из результатов, полученных в гл. 7, мы знаем, как образовать такие произведения: схемы Юнга для пространственной и спиновой функций должны быть сопряженными [ср. выражение (7.211)].
