Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Tt=4(/V-Z), (11.17)
где N и Z — число нейтронов и протонов в системе соответственно. Общее число нуклонов в системе равно N-\-Z. Если рассматриваются ядерные силы, то значение 7? не существенно.
Для системы тождественных нуклонов мы должны построить состояния, обладающие определенной симметрией относительно перестановки тождественных частиц. Для двух частиц первые две из названных выше функций оказываются симметричными относительно перестановки нуклонов 1 и 2. Остальные две функции можно скомбинировать так, чтобы получились симметричные и антисимметричные комбинации
Фу, ОН-./*(2)
Поскольку кулоновскими силами мы пренебрегаем, на энергии системы может сказаться лишь симметрия волновых функций. Мы видим, что для двух нуклонов число симметричных состояний равно трем, в то время как число ангисиммегричных состояний равно одному. Первый тип симметрии соответствует разбиению [2] размерности 3, второй — разбиению [11] размерности 1.
По аналогии с полным спином 5 мы вводим изотопический спин (изобарический спин, изоспин) Т такой, что число (27+1) определяет содержание мультиплета для состояний, обладающих заданной
512 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
зарядовой симметрией. Для двух нуклонов мы имеем
[2]: 7=1, Tt= 1, 0,-1;
[11]: 7 = 0, 7?=0.
(11.18
Симметричное состояние, у которого 7=1, представляет собой изобарический триплет. Все три состояния с 7j=l, 0, —1
(.N — Z = 2, 0, —2) обладают одинаковой энергией. Аналогично для трех нуклонов имеем
Первый из этих зарядовых мультиплетов содержит четыре изобара, второй —два.
Результаты для любого числа нуклонов совпадают с соотве ствующими результатами для спина j= 1/2. Для состояния со схемо зарядовой симметрии [А,,^] изотопический спин
§ 7. Ядерные спектры в схеме L — S-связи. Супермультиплеты
Если ядерные силы слабо зависят от спинов, то так же, как и в атомных задачах, мы можем записать волновую функцию в виде произведения орбитальной функции и функции, зависящей от спиновой и зарядовой переменных. Гамильтониан взаимодействия симметричен относительно пространственных координат нуклонов, поэто» орбитальные волновые функции надлежит комбинировать так, получить полную орбитальную волновую функцию С определена симметрией. Энергия состояния весьма чувствительна к малейше отклонениям от этой симметрии. Поскольку ядерные СИЛЫ В OCHPFMI ЯВЛЯЮТСЯ силами притяжения, энергия уменьшится, если СИММЄ'і орбитальной волновой функции возрастет. Поэтому можно ожида что состояние, у которого орбитальная функция обладает наив^ии симметрией, будет обладать наинизшей энергией. Поскольку п_ волновая функция системы тождественных нуклонов в силу принці ’ Паули должна быть полностью антисимметричной, мы должнь ’< строить зарядово-спиновые функции с определенной симметрией взяв произведение орбитальной функции и зарядово-спиновой функции, схема симметрии которой сопряжена со схемой симметрии пер-
?
2 ’
N — Z = З, 1, —1, — 3;
(11.19)
[21]: T = j, 27+1=2, 7Е = -|,--І,
N — Z= 1, — 1.
Г = -j (А-1-^2),
§ 7. Ядерные спектры в схеме L¦—S-связи, Супермультиплеты
513
вой функции, получить полную волновую функцию. Поскольку энергий состояния определяется только орбитальной функцией, в то время
і как содержание мультиплета зависит от зарядово-спиновой функции, каждый уровень энергии будет супермультиплетом.
В случае одного нуклона возможны четыре зарядово-спиновых состояния. Если описывать состояния различными значениями г.ели-чпн и sz, то получатся четыре базисные функции
Чч.'/, Ч.-Ч,' (11-20)
Симметрия состояний для одного нуклона описывается разбиением [1]; для этого состояния 7 = 1/2, 5= 1/2, поэтому для данного мультиплета 27 1 = 2, 25 -)- 1 = 2.
Для двух нуклонов существует шестнадцать зарядово-спиновых состояний. Если симметрия зарядово-спиновой функции определяется разбиением [2], то либо и спиновая функция и зарядовая функция симметричны, так что 27" -|— 1 = 3, 25 + 1=3, либо они обе антисимметричны, и 27-f-1 = 1, 2S —1 = 1. Таким образом, схема Юпга [2] содержит зарядово-спиновые мультиплеты типа (11) (зарядовый синглет и спиновый синглет) и типа (33) (зарядовый триплет я спиновый триплет). Аналогичным образом, антисимметричная зарядово-спиновая функция типа [11] должна быть произведением зарядовой и спинопой функций противоположной симметрии и поэтому содержать мультиплеты типа (13) (зарядовый синглет и спиновый триплет) и (31) (зарядовый триплет и спиновый синглет).
Схеме Юнга [I4] соответствуют четыре нуклона в полностью антисимметричном зарядово-спиновом состоянии. Поскольку все четыре набора индексов должны быть различными, каждая из функций (11.20) будет фигурировать только один раз, так что 7 = 5 = 0. Таким образом, схеме [14] = [0] отвечают мультиплеты (11) (зарядовый синглет и спиновый синглет). Точно так же схема [I3] эквивалентна схеме [1], ей отвечает затем мультиплет (22).
/ Зарядово-спиновые функции для трех нуклонов мы можем найти, сі .'тавляя внешнее произведение и разлагая затем его для различных 5 и 7:
? ® ?? = ??? +0а О1-21)
