Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
к > і
Некоторые наиболее простые неприводимые представления группы Sp(n) при я —4, 6 и 8 см. в табл. 50.
Таблица 50
Неприводимые представления группы Sp (п)
Я = 4 п = 6 /1=8
Г №72) N(o) Т (<Tl02<Ts) N (а) т ((Ті02<Тз^4) N (а)
0 (00) 1 0 (000) 1 0 (0000) 1
1 (10) 4 1 (100) 6 1 (1000) 8
2 (20) 10 2 (200) 21 2 (2000) 36
(П) 5 (ПО) 14 (1100) 27
3 (21) 16 3 (210) 64 3 (2100) 160
4 (22) 14 (111) 14 (1110) 48
4 (220) 90 4 (2200) 308
(211) 70 (2110) 315
5 (221) 126 (1111) 42
т 6 (222) 84 5 (2210) 792
(2111) 288
6 (2220) 825
(2211) 792
7 (2221) 1056
8 (2222) 594
Подпространство S тензоров Ф [соотношение (10.85)] инвариантно относительно симплектических преобразований, но не является неприводимым. Так же как в § 7 настоящей главы, мы можем
Таблица 51
Разложение представлений группы U(я) на представления группы Sp (я)
я =-6
г IM (а) Г їм (а)
0 [0] (00) 1 0 [0] (ООО)
1 [1] (10) 1 [1] (100)
2 [2J (20) 1 2 [2] (200)
[И] (00) (11) [П] (ООО) (ПО)
3 [21] (10) (21) 3 [21] (100) (210)
[111] (ЮО) (111)
4 [22] (00) (11) (22) 4 [22] (ООО) (110) (220)
[211] (20) (11) [211] (200) (ПО) (211)
5 [221] (100) (210) (111) (221)
[2111] (100) (111) (210)
6 [222] (200) (211) (222)
[2211] (ООО) (ПО)2 (220) (211)
[21111] (200) (ПО)
IM
(о)
0 [0] (0000)
1 [1] (1000)
2 [2] (2000)
[П] (0000) 1100)
3 [21] (1000) 2100)
[111] (1000) 1110)
4 [22] (0000) 1100) (2200)
[211] (2000) 1100) (2110)
[1111] (0000) 1100) (1111)
5 [221] (1000) 2100) (1110) (2210)
[2111] (1000) 2100) (1110) (2111)
6 [222] (2000) 2110) (2220)
[2211] (0000) 1100)2 (2200) (2110) (1111) (2211)
[21111] (2000) 1100) (2110) (ИИ)
7 [2221] (1000) 2100) (1110) (2210) (2111) (2221)
[22111] (1000) 2100) (ШО)2 (2210) (2111)
[211111] (1000) 2100) (1110)
8 [2222] (0000) 1100) (2200) (1111) (2211) (2222)
[22211] (2000) 1100) (2110)2 (1111) (2220) (2211)
[221111] (0000) 1100)2 (2200) (2110) (1111)
[2111111] (2000) 1100)
484
Г лава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
провести повторную свертку и разложить тензор в сумму членов вида
Ч ••• Ч '„'Ф'в -'в Vs + v = r), (10.87)
°1 «1 as °S Pi Pv
где след тензора Ф/р ..., і равен нулю.
Если взять за исходные тензоры г-го ранга с определенной симметрией, то процесс свертки приведет к разложению пространства этих тензоров на тензоры с нулевым следом ранга г, г — 2, г — 4 и т. д., которые обладают определенной симметрией. Разложение представления [Я.] ... А.„] группы U (п) на неприводимые представления (о, ... ov) группы Sp(n) означает, что тензор F с симметрией [Я.] ... А.п] записывают в виде суммы членов (10.87), где тензор Ф имеет симметрию [О] ... av]. Так как каждый из сомножителей t ' в (10.87) обладает симметрией [11], мы видим, что тензор F
%
с симметрией [Я,] ... Я,„] получается из тензора Ф с симметрией [а, ... av], если взять внешнее произведение s сомножителей, каждый из которых обладает симметрией [11]:
[Я.г ... A.J содержится в [аг ... av] <g) [11] <g) ... ® [11]. (10.88)
5 сомножителей
Для специального случая s= 1 [уравнение (10.85)] мы получаем такие схемы [О] ••• crv], для которых внешнее произведение
[о, ... о„]®[11] (10.89)
содержит [Я., ... А.„]. Далее мы можем воспользоваться результатами § 12 гл. 7 относительно внешних произведений. Для (10.89) схема (о, ... av) получается из [Я.] ... А.„] правильным удалением антисимметричной пары [11]. После того как это сделано, проводится второе правильное удаление пары [11] и т. д.
Схема [11] разлагается на схемы (11)-)- (00). Для схемы [22] получается разложение (22) -|- (11) -f- (00). Для разложений [Я.] ... А.,,], содержащих более я/2 строк, этот процесс становится сложным. Мы не будем рассматривать общий метод, а приведем таблицы разложений для простейших случаев (табл. 51).
ГЛАВА 11
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП К ЗАДАЧАМ АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU(п)
Одна из главных задач атомной физики и физики ядра состоит в определении уровней энергии системы тождественных (эквивалентных) частиц. Поскольку точно решить эту задачу для системы взаимодействующих частиц мы не можем, приходится прибегать к методам теории возмущений. Мы предполагаем, что каждая частица системы движется в некотором усредненном потенциальном поле. Далее мы находим собственные состояния частицы в таком усредненном поле и выбираем базисные функции для всей задачи в целом в виде произведений таких одночастичных собственных функций. В этом случае возмущение будет состоять из какой-то части поля одной частицы плюс взаимодействие между частицами. Если частицы тождественны, то оператор взаимодействия будет симметричным по всем частицам. Следовательно, его матричный элемент, вычисленный с помощью базисных функций, будет сильно зависеть от симметрии этих функций относительно перестановки частиц.
Для большей общности мы начнем с предположения о том, что уже располагаем решением одночастичной задачи, гамильтониан которой инвариантен относительно группы преобразований G. Функции, соответствующие данному собственному значению еМ одночастичнОй задачи, образуют базис некоторого представления D(J) группы О. Если размерность представления ?)(J) равна п, то одной и той же
