Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Г = 2, У=4, 2, 0.
При г=3 представим в виде таблицы все возможные наборы индексов 1Х, 12, 1$ и их суммы і'і-Мг^Мз (табл. 64). Наибольшее значе-
Таблица 65
Разложение полного момента количества движения в конфигурации (j)r
}~ 2
2
}~ 2
}~ 2
г = 1
2
г-1
2 3
/¦=1
2
3
4
г = 1 2
3
4
5
3^
2 2, 0
' 1 2
4. 2, 0
111 2 ’ 2 ’ 2
7_
2
6, 4, 2, 0
іі І1 1 -Z. А 1
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 1 2 ’ 2
8, 6, 5, (4)2, (2)2, 0
9^
2
8, 6, 4, 2, 0
21 II ІІ ІІ ІІ
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2
12, 10, 9, (8)2, 7, (6)3, 5, (4)3, 3, (2)2, 25 21 _19 /?\а /_15\г /13
2 ' 2 ' 2’\2)’\2)'[2
(І)2 _7 1 I
’’ Ui ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’
(0)s
_П
2
Ш2 А і. 2 j ’ \ 2 / \ 2 / ’ 2 ’ 2
§ 6. Структура ядра. Изотопический спин
509
ние суммы Равно 9/2, поэтому представление содержит У = 9/2.
Вычеркиваем суммы, равные 9/2, 7/2, 5/2, —7/2, —9/2. Наи-
большее из оставшихся значений равно 5/2, поэтому представление содержит У =5/2. Вычеркиваем суммы, равные 5/2, 3/2, ..., —5/2. Наибольшее из оставшихся значений равно 3/2, следовательно, в представлении содержится У = 3/2. Вычеркнув суммы, равные 3/2, 1/2, —1/2, —3/2, мы исчерпываем таблицу. Таким образом, конфигурация (5/2)3 содержит У =9/2, 5/2, 3/2.
Существует простой способ проверки правильности разложения момента количества движения. Тензор, обладающий симметрией
/2/+ 1\
схемы [1 ] относительно группы SU(2j-\-\), имеет I r I независимых компонент (столькими способами можно выбрать г индексов
h~> h~> ••• > V из 2у —)— 1 значений J, j — 1...— /). Так как
размерность представления D^J) группы вращений равна 2У—j— 1, мы должны иметь
2 (2У+1)=(2'+1) . (11.14)
/в[1г] '
В рассматриваемом примере
(^+1НзНН2-4+1)+(2-!+1)+(2-4+1)-
Результаты вплоть до j =9/2 приведены в табл. 65.
Задачи. 1. Докажите, что наибольший момент количества движения в конфигурации (j)r равен
Умакс= ~2 1Я/ — г “Ь Ч-
2. Докажите, что в конфигурации (})г не может быть момента количества движения J — Ліакс—1> а максимальная кратность для момента количества движения
J = Умакс 2 равна I,
“ У макс 3 равна 1,
“Умакс 4 равна 2,
= Умакс— 5 равна 2,
= Jмакс — 6 равна 4.
§ 6. Структура ядра. Изотопический спин
При рассмотрении ядер можно применять методы теории возмущений, аналогичные тем, которые использовались в многоэлектронной задаче. Но для ядер задача осложняется, так как система состоит
510 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
из частиц двух сортов: нейтронов и протонов. (Кроме того, мы не располагаем точными сведениями о взаимодействии частиц внутри ядра. Информацию о гамильтониане для ядра получают из сравнения вычисленной и полученной экспериментально структуры ядра.) Масса протона и нейтрона (приблизительно) одинакова, они обладают одинаковым спином (5=1/2) и переходят друг в друга при р-распаде. Нейтрон не имеет заряда, заряд же протона равен -\-е, поэтому ку-лоновские силы действуют только на протоны. Однако по сравнению со специфическими ядерными силами кулоновские силы малы. Кроме того, имеющиеся в нашем распоряжении экспериментальные данные показывают, что специфические ядерные силы, действующие между двумя частицами внутри ядра, не зависят от того, являются ли эти частицы нейтронами или протонами, т. е. ядерные силы не зависят, от заряда. Поэтому удобно рассматривать нейтроны и протоны как состояния некоторой одной фундаментальной частицы, которую мы назовем нуклоном.
Нуклон может находиться в любом из двух зарядовых состояний, которые мы обозначим символами фу2 и ф_у2 для нейтронного и протонного состояний соответственно. Эти состояния являются собственными состояниями оператора ^
Применяя оператор fg к зарядовой функции, мы определяем, отвечает ЛИ ЭТО состояние протону ИЛИ нейтрону. Оператор tl можно записать в виде матрицы 2 X 2:
Чтобы иметь возможность учитывать переходы протона и нейтрона друг в друга при p-распаде, мы должны иметь операторы вида
Операторы (11.15а) и (11.156) задают алгебру, которая формально совпадает с алгеброй операторов момента количества движения Jx, Jy, Jz. Поскольку мы имеем дело с двумерным пространством, состояния 1|з образуют базис некоторого представления, аналогичного представлению D® группы вращений. Пространство представления.
(11.15)
(11.15а)
(11.156)
§ 6 Структура ядра Изотопический спин
511
натянутое на функции ^, называется пространством изотопического спина. Мы имеем операторы t\, t^ и tj, свойства которых аналогичны свойствам операторов момента количества движения Jx, Jy, Jz. Если у нас имеется система нескольких нуклонов, то оператор
76=2 4° (п.16)
/
представляет собой инфинитезимальный оператор одновременного „поворота вокруг оси ? в пространстве изотопического спина“ всех частиц. Аналогичным образом можно определить и операторы Т и 7^.
Для системы двух нуклонов функции ф,Л(1) Фід(2) соответствует нейтронное состояние обоих нуклонов и
7с(ф1А(1)ф1А(2)) = ф1А(1)^(2).
Таким образом, для этого состояния Т^—Х. Функция (1)(2) описывает систему двух протонов, и 7\ — — 1. Функции (1) ф (2) и г|’ |у(1)ф,уа(2) описывают состояния, содержащие один протон и один нейтрон, причем 7^=0. Мы видим, что
