Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
^=о = т=т І (-1)У_т<ф-т- (п-6)
‘ m ~ — у
Для тензоров более высокого ранга мы продемонстрируем наш метод сначала при j=\/2. Так как n = 2j^r\=!2, схемы Юнга могут содержать самое большее две строки. Далее, из (10.29) следует
[Я,іЯ,2] — [A-і—Я,2> 0].
Комбинируя этот результат с (11.5), видим, что представление [2] имеет У=1, в то время как представление [11] = 0 имеет У=0. Схема [21] эквивалентна схеме [1], так что У = 1 /2. Точно так же любая схема [а —|— 1, а] = [1] содержит У= 1/2. Если мы возьмем внешнее произведение
?? в ? = ??? + >
то в левой части будем иметь произведения функций с У=1 и
У=1/2. Получающиеся при этом значения У равны 1/2 и 3/2. Вторая схема в правой части имеет J= 1/2, откуда следует, что схема [3] содержит У = 3/2. Повторяя эти рассуждения для произведения
[3]® [1] = [4] + [31]
У =4 | 2 1,
§ 2. Разложение момента количества движения
489
мы получаем, что схема [4] имеет 7=2, а в общем случае схема содержит J = (kl—Я.2)/2.
Мы уже знаем, что при /=1 (п = 2y-f- 1 = 3)
представление Q (7 = 1) имеет размерность 3;
представление ?? (7=2, 0) имеет размерность б;
представление j=^ (7 = 1) имеет размерность 3;
?
представление ? (7=0) имеет размерность 1, так как п—Ъ.
?
Затем мы образуем прямое произведение
В®°“В+™
Комбинируя в левой части 7=1 и /'=1, мы получаем 7=2, 1, 0. В правой части представление [111] имеет 7=0, так что представление [21] содержит 7=2, 1. Кроме того, разлагая внешнее произведение
?? О ? = ??? + ,
/: 2, 0 1 7=2, 1
получаем 7=1, 1, 2, 3, так что представление
??? = [3] содержит 7=3, 1. Взяв прямое произведение
g ® ?? = gDD + cD=
_ ОСИП , г-1
- П + U ,
?
мы получим слева 7=1, 7-/ = 2, 0, откуда 7=1, 1, 2, 3, так что представление
? ?? = [31]
Р
Таблица 52
7=1
Внешние произведения Значения момента количества движения S Р D F Q J=0 12 3 4 Разложение внешнего произведения
[1]® [11] [1] ® [2] [1]® [21] [1] ® [3] [1] ® [31] [1] <8> [32] (=[31]) ill.. .211. 12 2 1 112 11 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 [21]. [0] [3], [21] [31], [2], [1] [4], [31] [41], [31], [2] [42], [3], [21]
Таблица 53
Конфигурация (j)r. Разложение момента количества движения
7=1, SU (3)
т \Ц ] лг(И)
0 [0] 0= S 1
1 11] 1 =р 3
2 [2] 0,2 = SD 6
[П] = [1] 1 = Я 3
3 [3] 1,3 = Я/7 10
[21] 1,2 = PD 8
[111] = [10] 0 = 5 1
4 [4] 0, 2, 4 = SDG 15
[31] 1, 2, 3 = PDF 15
[22] =[2] 0,2 = SD 6
[211] = [1] 1 =Я 3
5 [41] 1, 2, 3, 4 = PDFG 24
[32] = [31] 1, 2, 3 =PDF 15
[ЗП]-[2] 0,2 = SD 6
[221] = [1] 1 =Я 3
6 [42] 0, (2)2, 3, 4 = SD2FG 27
[411] ss [3] 1,3 = Я/7 10
[33] = [3] 1,3 = PF 10
[321] = [21] 1,2 = PD 8
[222] = [0] 0 = S 1
§ 2. Разложение момента количества движения
491
Таблица 54
Конфигурация (у)-г. Разложение момента количества движения
; = ! , SU (4)
т М j лг<[М)
0 [0] 0 1
1 [1] 3 2" 4
2 [2] 1, з 10
[П] о, 2 6
3 [21] 13 5 7 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 20
4 [22] 0, (2)\ 4 20
[211] 1, 2, 3 15
содержит 7=3, 2, 1. Из прямого произведения
??? ® ? = ???? + §nD
находим, что
???? = [4]
содержит J = 4, 2, С.
Этот рекуррентный метод, использующий равенства (11.4), (11.5) и формулы для разложения внешних произведений, позволяет нам узнать, какие значения момента количества движения J отвечают любому представлению группы SU («=2/-f-1). Этот метод мы проиллюстрируем на примере 7=1. Выпишем последовательность внешних произведений в первом столбце таблицы, соответствующие им значения момента количества движения — во втором и само разложение-внешнего произведения — в третьем (табл. 52). Воспользуемся соотношениями эквивалентности для схем Юнга
[Я-jЯ-2 ••• A-nl — [A-і А-яДг ^n> ^п-i ^л1> (10.29)
[Я,іЯ,2 .. • Х„\ = [Я-1 Хп, A,j Хп_і, .. ., Я-1 Я,2] (10.30)
при гг = 2у —1 = 3. Комбинируя результаты, представленные в табл. 52, мы находим, какие значения момента количества движения отвечают представлению [А,].
Таблица 55
Конфигурация (уУ. Разложение момента
количества движения
; = 2, SU (5)
/ (М s / = о р і D 2 F 3 а 4 н 5 / К L М N О Q 6 7 8 9 10 11 12 ЛГ([Я.|)
0 [0] 1 1
1 [1] 1 5
2 [2] 1 1 • 1 15
[П] 1 • 1 10
3 [3] 1 1 1 1 • 1 35
[21] 1 2 1 1 1 40
4 [4] 1 2 • 2 1 1 . 1 70
* [31] 2 2 3 2 2 1 1 105
[22] • 2 1 2 . 1 50
[211] 2 1 2 1 1 45
5 [41] 1 2 3 4 4 3 3 2 1 1 224
[32] 1 2 4 3 4 3 2 1 1 175
[311] 3 2 4 2 3 1 1 126
[221] 1 1 3 2 2 1 1 75
(21П1 1 1 1 1 24
6 [42] 2 7 5 8 5 6 3 3 11 420
[411] 4 3 6 4 5 3 3 1 1 280
[33] 3 1 5 2 3 2 2 • 1 175
[321] 1 4 6 6 6 5 3 2 1 280
[3111] . 1 1 2 2 2 1 1 70
7 [43] 1 4 7 7 8 8 6 5 4 2 1 1 560
[421] 6 10 11 12 10 9 6 4 2 1 700
[331] 5 4 7 5 6 3 3 1 1 315
[4111] 2 3 3 3 3 2 1 1 160
[322] 2 5 4 5 3 3 1 1 210
[3211] 1 3 4 5 4 3 2 1 175
8 [44] 4 1 6 4 8 4 7 3 4 2 2-1 490
[431] 2 9 12 16 15 15 12 10 6 4 2 1 1050
[422] 4 3 10 7 11 7 8 4 4 11 560
[4211] 1 6 6 9 8 8 5 4 2 1 450
9 [441] 4 5 11 11 14 11 12 8 7 4 3 1 1 980
[432] 3 9 14 16 17 16 13 10 7 4 2 1 1120
[4311] 2 7 10 12 12 11 9 6 4 2 1 720
[4221] 2 5 8 9 9 8 6 4 2 1 480
10 [442] 6 5 15 12 18 13 15 9 9 4 4 1 1 1176
