Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 46 Неприводимые представления группы 0+ (5)
(^2> N (ц.ш) N
(00) 1 (22) 35
(10) 5 (41) 154
(20) 14 (32) 105
(И) 10 (42) 220
(30) 30 (33) 84
(21) 35 (43) 231
(40) 55 (44) 165
(31) 81
4?0
Глава І0. Линейные группы в п-мерном пространстве
При п = 5 v = 2, из чего следует, что неприводимые представления групп 0+ (5) (табл. 46) характеризуются двумя целыми числами (Xj и (х2. причем
Mi > Мз-
Размерность представления (ИіИ2) задается формулой
N (М1М2)= е"(Мі — М2+ 1)(Мі + М2 + 2)(2Мі + 3) (2(х2 +1). (10.47)
Таблица 47
Неприводимые представления группы О+ (7)
(НіЦаНі) N N
(ООО) 1 (321) 1617
(100) 7 (222) 294
(200) 27 (430) 3003
(110) 21 (421) 4550
(300) 77 (331) 2079
(210) 105 (322) 1386
(П1) 35 (440) 3003
(400) 182 (431) 7722
(310) 330 (422) 4095
(220) 168 (332) 2310
(211) 189 (441) 8008
(410) 819 (432) 9009
(320) 693 (333) 1386
(311) 616 (442) 10296
(221) 378 (433) 6006
(420) 1911 (443)' 9009
(411) 1560 (444) 4719
(330) 825
При п = 7 v = 3, откуда следует, что неприводимые представления группы 0+(7) (табл. 47) характеризуются тремя целыми числами (х1( (х2> (Хз, для которых выполняется неравенство
Mi ^ М2 ^ Мз-
§ 7. Разложение неприводимых представлений
группы U (я) на представления группы 0+ (я)
В § 5 настоящей главы мы разложили пространство тензоров г-го ранга в прямую сумму двух подпространств: пространства тензоров F0
с нулевым следом и пространства 2 тензоров Ф, имеющих вид (10.34).
§ 7. Разложение неприводимых представлений группы U(n) 471
Оба подпространства были инвариантными относительно ортогональных преобразований. В § 6 настоящей главы мы применили симмет-ризаторы Юнга к тензорам F° ... ir с нулевым следом, чтобы получить неприводимые представления группы 0+ (га). Инвариантное же подпространство 2 тензоров Ф не является неприводимым. Применяя операцию свертки, можно разложить тензоры Ф* ... і в прямую сумму:
Ф=Р1-\-Ф', (10.48)
где/71—то подпространство в 2, у тензоров которого все „следы по двум парам индексов" равны нулю:
F\..i...i...k...k... = 0
при всех расположениях повторяющихся индексов і и k, а Ф' есть сумма членов вида
fi, , 6, , МаР* l*v)/ і її її її і ¦ (10.49) а р V v і а-i а + 1 ” р-i р+1 " ц-1 >+> " v-i v + i ” г 4 ’
С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям, изложенным в § 5 настоящей главы, можно показать, что формула (10.48) задает разложение пространства 2 в прямую сумму инвариантных подпространств Z71 и Ф'. Следовательно, тензоры F разлагаются в прямую сумму
р=/*>_|_/п_|_ф'. (10.50)
Тензоры F1 имеют вид
. - 'р-.'р + . - 'г’ (10-51)
где тензоры 0(а№ имеют ранг v = r — 2 и след, равный нулю. Таким образом, неприводимые представления группы U (га) тензорами г-го ранга содержат представление группы 0+(га) тензорами (г—2)-го ранга с нулевым следом. Далее, применяя симметризаторы Юнга, мы
можем получить неприводимые представления группы 0+ (га). Этот
процесс свертки можно продолжить, в результате чего произвольный тензор /7/( ... і можно будет записать в виде суммы членов
6'aV-"6i (2s + f=r), (10.52)
al al as as pi pv
где тензор Ф;(... i имеет нулевой след.
Если мы берем за исходные тензоры г-го ранга, обладающие наперед заданной симметрией, то процесс повторной свертки приведет к разложению их на тензоры с нулевым следом ранга г, г — 2, Г — 4 ц т. 4.
472
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Прежде чем рассматривать этот процесс разложения, покажем на примере, как используются повторные свертки. Рассмотрим полностью симметрические тензоры r-го ранга, которые можно образовать из компонент А[ вектора А. Пусть
AtAt~ А2.
Допустимые тензоры третьего ранга имеют вид
AtAjAk, k2Albjk, (10.53)
где во второй член следует включить множитель А2, так как должны получиться однородные выражения степени 3 относительно компонент вектора А. Кроме того, второе выражение (10.53) несимметрично, в то время как след тензора AlAjAk должен быть симметричен по индексам. Симметризуем второе выражение, заменив его на
А2(Д.6,.* + ЛД, + ЛА,). (10.54)
След по индексам (J.J) тензора (10.54) равен (га+2)А2Лй; след по индексам (lj) тензора AiA]Ak равен А2Ак. Поэтому симметрический тензор третьего ранга с нулевым следом имеет вид
(п+ 2) AlAjAk — A2(Afijk -)- Afiki-\- АкЬ^). (10.55)
При г = 4 допустимые симметрические тензоры, образованные из компонент вектора А, имеют вид
F = A[AjAkAl,
Ф = А2(Л,ЛД,+ ...), (10.56)
= (A2)2
Тензор с нулевым следом запишется в виде
F0 = (n-\-2)(n + 4)F — (га+2)Ф + Ф'. (10.57)
Задача. Найдите тензор 5-го ранга с нулевым следом, образованный из компонент вектора А. Выведите общую формулу для тензора произвольного ранга г.
Разложение представления [Аь ..., А„] групп U(п) на представления ((Х|, ..., (xv) группы 0+(я) означает, что тензор F с симметрией [А,! ... А„] записывается как сумма членов (10.52), где тензор Ф имеет симметрию [(Х[ ... [iv]. Так как каждый из множителей 61 і' в (10.52) обладает симметрией схемы [2], можно сказать,
V V
что тензор F с симметрией [Aj ... А„] получается из тензора Ф
