Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Неприводимые представления подгрупп группы GL(n)
457
базиса не будет приводить матрицы всех преобразований группы GL(ri) к такому же виду, так как мы исходим из неприводимого представления группы GL(n). При преобразовании базиса матричные элементы остаются однородными многочленами степени г относительно ац. Таким образом, представление будет приводимым для подгруппы Н, если некоторый набор однородных многочленов Pv(а) степени г обращается в нуль при всех преобразованиях а из Н, но не обращается в нуль при всех а из GL(n).
Группа GL(n) состоит из всех невырожденных линейных преобразований с комплексными коэффициентами. Предположим, что Н — подгруппа группы GL'(n) вещественных линейных преобразований. Приводимость преобразований группы GL' (п) означает, что набор полиномов Pv(а) обращается в нуль при всех вещественных значениях своих аргументов а,ц. Но из теорем, которые можно найти во всех учебниках алгебры, следует, что если набор многочленов
обращается в нуль при всех вещественных значениях своих аргу-
ментов, то он должен обращаться в нуль и при всех значениях аргументов вообще. Поэтому если какое-то представление оказывается приводимым для GL' (п), то оно должно быть приводимым и для группы GL(ri). Обратно, неприводимое представление группы GL(n) остается неприводимым, если мы ограничимся вещественными преобразованиями.
Рассмотрим далее унимодулярную группу SL(n). Любую матрицу а группы GL(n) можно записать в виде
а = ab,
где
det b = 1,
если положить
a = (deta)I/n.
Таким образом, каждой матрице а из GL(n) соответствует некоторая матрица b из SL(n). Предположим, что многочлены Pv обращаются в нуль при преобразованиях унимодулярной группы: /^(Ь) = 0 при всех b из SL(n). При любых преобразованиях а, принадлежащих GL(n),
Pv(a) = arPv(b),
где b принадлежит SL(n). Следовательно, /\,(а) = 0. Отсюда вытекает, что из приводимости представления группы SL(n) следует его приводимость для GL (п). Обратно, неприводимое представление группы GL(n) остается неприводимым и для SL(n).
Задача. Докажите, что неприводимое представление группы GL (п) останется неприводимым, если мы перейдем к подгруппе вещественных унимодулярных преобразований SL' (п).
458 Глава Ю Линейные группы в п-мерном пространстве
Те же результаты можно получись, рассматривая представления алгебры Ли группы GL(ri). Инфинитезимальными матрицами GL(n) являются матрицы, все элементы которых равны нулю, кроме элемента, стоящего на месте (If) и равного единице. Базис алгебры Ли
образует набор элементов Xtj(i,j= 1, ..., п), удовлетворяющих соотношениям коммутации
[X[j, Xkl] =bjkXn—bnXkj. (10.26)
Элементы Xij можно представить дифференциальными операторами:
Х'¦> = *,-?J- <10-27)
Алгебра Ли состоит из всех элементов
2 atjX tj-
Ч
Для группы GL'Qi) коэффициенты должны быть вещественными. В случае группы GL(n) коэффициенты atj могут принимать любые комплексные значения. Предположим, что представление
X
есть представление, в котором базисным элементам Xсоответствуют матрицы Dl1. Тогда общему элементу алгебры будет отвечать матрица
2 щри-
Если представление приводимо для GL' («), то можно найти базис, в котором матрицы
2 aijD‘j
имеют вид (3.113) при всех вещественных значениях а,-у. Иначе говоря, если представление приводимо для GL'(ri), то некоторый набор линейных форм относительно ai] обращается в нуль при всех вещественных значениях ац. Но если это так, то эти линейные формы должны обращаться в нуль при любых комплексных значениях alJt и представление оказывается приводимым и для GL(n). Обратно, если представление неприводимо для группы GL (п), то оно должно быть неприводимым для GL' (п).
Задача. Путем рассмотрения представления алгебры Ли докажите, что неприводимое представление группы GL (п) остается неприводимым для групп SL (п) и SL' (п). (Указание. Покажите, что условие унимодулярности приводит к еще одному линейному соотношению между коэффициентами 0[j.)
§ 4. Неприводимые представления подгрупп группы OL(n)
459
Унитарная группа U (п) определяется условием
UUf = 1.
Элементы ее в окрестности единицы имеют вид
и = 1 — IS,
где S — инфинитезимальная матрица. Из условия UU^ = 1 находим, что S — S+ = 0. Таким образом, инфинитезимальными матрицами группы U (п) служат эрмитовы матрицы. Выберем в качестве базисных элементов алгебры Ли п2 элементов:
k=hj\ Х(к^\ 1 для элементов (kj) и (у/е);
все остальные элементы равны 0.
і для элемента (kj), —і дня элемента (jk), все остальные элементы (10.28) равны 0.
k = j\ Х(кк): 1 на месте (kk), все остальные
элементы равны 0.
Элементами алгебры Ли группы U(п) служат все линейные комбинации базисных элементов (10.28) с вещественными коэффициентами. Комплексные коэффициенты дают нам алгебру Ли для группы GL(n). Повторяя рассуждения, которые проводились для GL' (п), мы видим, что неприводимое представление группы GL(n) остается неприводимым для U (п).
Задача. Докажите, что неприводимые представления группы GL (п) остаются неприводимыми при переходе к унитарной унимодулярной подгруппе SU (п). [ Указание. Используйте результат, состоящий в том, что из неприводимости представления группы GL (п) следует его неприводимость для SL (я). Затем от SL (п) переходите уже к SU (л).]
