Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Разложение неприводимых представлений группы U(n)
473
С симметрией [(Х[ ... [xv], если взять внешнее произведение последнего тензора с тензорами, каждый из которых обладает симметрией [2]:
[X.J ... Ал] содержится в [Mi • ¦ • MV1 ® [2] ® ® [2]- (10.58)
s сомножителей
Для специального случая s= 1 [уравнение (10.34)] получаем такие схемы ((Xi......Mv)> для которых произведение
[fij .. . |xv] <g [2] (10.59)
содержит [Х,[ ... %п]. Разложение внешних произведений было проделано нами в § 12 гл. 7. Для специального случая (10.59) схема (Mi> tlv) получается из схемы [Я, ... А„] путем правильного удаления двух клеток. Например, при [А,] =[4] правильное удаление двух клеток оставляет [М/] = [2]. Вторичное удаление двух клеток оставляет [(х"] = [0]. Таким образом, представление группы U (га), отвечающее схеме [4], разлагается на представления
[4] = (400. • -) —(200. . .) + (000. ..), (10.60)
если мы переходим к группе 0+ (га). [Многоточие в (10.60) означает нули, так как символы (M-і.......Mv) должны содержать v членов.]
Для представления [21] группы U (га) после правильного удаления двух клеток остается [1]. Соответствующее разложение имеет вид
[21] = (21) —1— (10). (10.61)
Для представления [22] группы U(га) после правильного удаления двух клеток остается [2], а после второго правильного удаления остается [0], поэтому
[22] =(22) + (20) + (00). (10.62)
Задача. Разложите тензоры с симметрией [21] так, как указано
в уравнении (10.61).
То же проделайте для тензоров с симметрией [22].
Для ббльших схем процедура становится сложной. Схемы, у которых сумма длин первых двух строк превышает га, не имеют тензора с нулевым следом. В этом случае надо принимать во внимание эквивалентность сопряженных схем.
Вместо того чтобы попытаться дать общий вывод, мы приводим таблицы разложений при га = 5 и п = 7 (табл. 48 и 49). Большинство результатов можно получить с помощью простого метода, приведенного выше.
Таблица 48
Разложение представлений группы U (5)
на представления группы О ь (5)
1 U( 5) їм О+ (5) (Hilij) АММ
0 [0] (00 1
1 [1] (10 5
2 [2] (20 (00) 15
[И] (И 10
3 [3] (30 (Ю 35
[21] (21 (10 40
4 Ш (40 (20 (00) 70
[31] (31 (20 (И) 105
[22] (22 (20 (00) 50
[211] (21 (И 45
5 [41] (41 (21 (30) (10) 224
[32] (32 (30 (21) (10) 175
[311] (31 (21 (П) 126
[221] (22 (21 (10) 75
[2111] (20 (И 24
6 [42] (42 (40 (31) (22) (20)2 (00) 420
[411] (41 (31 (21) (П) 280
[33] (33 (31 (П) 175
[321] (32 (31 (22) (21) (20) (П) 280
[3111] (30 (21 (10) 70
7 [43] (43 (41 (32) (30) (21) (10) 560
[421] (42 (41 (32) (31) (22) (30) (21)2 (10) 700
[331] (33 (32 (31) (21) (П) 315
[till] (40 (31 (20) (П) 160
[322] (32 (30 (22) (21) (10) 210
[3211] (31 (22 (21) (20) (П) 175
8 [44] (44 (42 (40) (22) (20) (00) 490
[431] (43 (42 (33) (41) (32) (31 )* (22) (21) (20) (П) 1050
[422] (42 (32 (40) (31) (22)2 (20)2 (00) 560
[4211] (41 (32 (31) (30) (21)2 (П) 450
9 [441] (44 (43 (42) (41) (32) (22) (30) (21) (10) 980
[432] (43 (42 (41) (33) (32)2 (31) (30) (22) (21 )2 (10) 1120
[1311] (42 (40 (33) (32) (31У (22) (21) (20) (П) 720
[4221] (41 (32 (31) (22) (30) (21)2 (10) 480
10 [442] (44 (43 (42)’ (32) (40) (31) (22)2 (20)2 (00) 1176
[4411] (43 (33 (41) (32) (31) (21) (П) 700
[4321] (42 (41 (33) (32*) (31 )2 (30) (22)2 (21)2 (20) (П) 1024
[4222] (40 (31 (22) (20)2 (00) 200
§ 8. Симплектическая группа Sp(n)
475
Таблица 49
Разложение представлений группы U (7) иа представления группы 0+ (7)
(для г< 6)
г ид) R1 0+ (7) (HiMij) ЛЧЛ.)
0 [0] (ООО 1
1 [1] (100 7
2 [2] (000 (200) 28
[И] (110 21
3 [3] (100 (300) 84
[21] (100 (210) 112
[111] (111 35
4 [4] (000 (200) (400) 210
[31] (110 (200) (ЗЮ) 378
[22] (000 (200) (220) 196
[211] (110 (211) 210
5 [41] (100 (210) (300) (410) 1008
[32] (100 (210) (300) (320) 882
[311] (111 (210) (311) 756
[221] (100 (210) (221) 490
[2111] (111 (211) 224
6 [42] (000 (200)2 (220) (310) (400) (420) 2646
1411] (110 (211) (310) (411) 2100
[33] (110 (ЗЮ) (330) 1176
[321] (110 (200) (211) (220) (310) (321) 2352
[222] (000 (200) (220) (222) 490
[3111] (111 (211) (311) 840
[2211] (110 (211) (221) 588
[21111] (111 (210) 140
§ 8. Симплектическая группа Sp(n).
Свертка. Тензоры с нулевым следом
Ортогональная группа в га-мерном пространстве 0(п) —это группа линейных преобразований а, оставляющих инвариантным скалярное произведение
(ху) = *,у,+ . .. + хпуп. (10.63)
Если рассматривать 0(п) с более общих позиций, то можно было бы определить ее как группу линейных преобразований, оставляющих инвариантной положительно определенную симметрическую билинейную форму. Путем подходящей замены базиса такую форму можно записать в каноническом виде (10.63).
476
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Симплектическая группа в п измерениях Sp(n) есть совокупность всех линейных преобразований а, относительно которых инвариантна невырожденная кососимметрическая билинейная форма. Иначе говоря, невырожденная билинейная форма
