Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
{xy] = gik*i.Уь (Яін = — Єкд. (Ю.64)
являющаяся косым произведением векторов х и у, остается неизменной при преобразованиях а группы Sp(n). Матрица
G : (Ы
в уравнении (10.64) кососимметрична:
Q = — Q. (10.64а)
Взяв определители матриц в соотношении (10.64а), получим
detO = (—1)л det О.
Если п нечетно, det 0 = 0 и билинейная форма (10.64) вырождена. Поэтому симплектическую группу можно определять только для четномерных пространств (ra=2v, v—целое). Условие, что форма (10.64) инвариантна относительно преобразования а, имеет вид
aGa = О. (10.65)
Базис в га-мерном пространстве можно всегда выбрать таким образом, чтобы косое произведение (10.64) имело простой канонический вид. Начнем с произвольного ненулевого вектора в[ в га-мерном пространстве. Так как косое произведение (10.64) невырождено, можно найти вектор у такой, что {ejy} Ф 0. Умножив у на некоторое число, получим вектор Єї', для которого {еіеі'} = 1. Теперь мы располагаем уже двумя векторами Єї и ег, удовлетворяющими условиям
{еіеі} = 0, {еі'еі'} = 0, {еіеі'} = 1. (10.66) 4
Векторы Є], et' линейно независимы: если Х.Є] + (хег = 0, то, взяв косое произведение этой линейной комбинации с векторами еі и ер по очереди, обнаружим, что Х, = (х=0.
Векторы г пространства Rn, которые удовлетворяют двум линейным (независимым) уравнениям
{eiz}=0, {ei-z}=0, (10.67)
образуют (п — 2)-мерное линейное подпространство в R„. Всякий вектор х из Rn можно записать в виде
x = jciei + jcrei'+z, (10.68)
где вектор г удовлетворяет (10.67). В самом деле, пользуясь (10.66) и (10.67), получаем
*: = {xei'}> = — {xei}-
§ 8 Симплектическая группа Sp(n)
477
Повторим наши рассуждения для (га — 2)-мерного подпространства. По индукции мы заключаем, что можно выбрать симплектический базис из векторов е,.....е , е , (п = 2х) такой, что
{eaeP} = {ea'V} = °> {eaV} = -{ea'ep}=V 0 0.69)
Компоненты вектора х в этом базисе равны ха, ха, (а=\....v).
Вычисляя косое произведение (10.64) в этом базисе, находим
{*у} = (*іУг —улО+^Уа-—ул-)+ +K.V —W)'
(10.70)
или
II при 1 = а, ] = а',
— 1 при 1 = а', } = а, (10.71)
0 в остальных случаях.
Матрица J = (е/;-) канонического вида (10.71) удовлетворяет уравнению
J2 = - 1,
ik-
(10.72)
Вид матрицы (10.71) зависит от порядка, в котором мы записываем индексы а, а':
’ 0 1!
—1 о:-
J=
0 1
— 1 0
о і -1 о
Порядок
индексов I, 1', 2, 2\ ..
1 1 ! Г І
—1 —1 ¦ * 1 > 1 1 — 1 I —і І
. —1 _ -і 1
. (10.73)
Порядок
индексов I, 2, ..., v, 1', 2', ..., v',
1,2.......... v'.........2', 1'.
478
Глава tO. Линейные группы в п-мерном пространстве
Определитель, построенный из компонент п вектороз х(1>............х(л>,
можно выразить через косые произведения. Чтобы показать это, рассмотрим величину
где суммирование распространяется по всем перестановкам р верхних значков (т. е. по всем перестановкам векторов х(1), ..., х<л)), а Ьр — четность перестановки р. Записывая косые произведения через компоненты векторов с помощью соотношения (10.71), мы замечаем, что выражение (10.74) принимает вид
отлична от нуля только в том случае, если все индексы 1Х, ..., 1„ различны. Дтя любого набора различных ..., /„ эта сумма равна
где 6Л — четность перестановки л, которая переводит 1, 2, ..., п
в /,.....а [х(1> .. . х(л)] — определитель из компонент векторов
х(1>.....х(л>. Поэтому выражение (10.75) равно
если каждая пара индексов принимает значения а, а' или а', а. Член єи,є22, ... є , равен —|— 1. Перестановка местами пар индексов дает по-прежнему -|-1. Соответствующая перестановка л четна, вследствие чего 6 =1. Замена є , на є , приводит к тому, что значение произведения теперь уже равно —1. Но такая замена соответствует нечетной перестановке л, у которой 6Л =—1. Таким образом, каждое ненулевое слагаемое в этой сумме вносит вклад, равный 1. Число таких слагаемых равно 2V • v!, так что выражение (10.76) равно [х(1) . . . х<л)], и мы получаем следующий результат:
rtv~~T ^р (х(1)х<2)} {х(3)х(4>} {х(л_1>х(л)}, (10.74)
р
?
р /, ... I
п — \ п
^Ьрх(ЇІ .. . xfn (10-75)
р
Сумма
6Л ¦ [х(1> . . . х(л>]>
Произведение є/ ; ... є/ і отлично от нуля только в том случае,
Ґ 12 Л-ГЛ J J
[x(D ... х<лЧ = —— 26p(x(1)x(2)) •" (10.77)
2 * v!
§ 8. Симплектическая группа Sp(n)
479
При выполнении линейного преобразования а в пространстве Rn определитель 1х(1> ... х<л>] умножается на det а. Но если а — симплекти-ческое преобразование, то оно оставляет косые произведения в правой части (10.77) неизменными и поэтому не должно изменять определитель [х(!) . . . х(л>]. Следовательно, для матрицы симплектического преобразования а определитель det а— 1—симплектические преобразования унимодулярны. Здесь уже нет необходимости проводить различие между собственными и несобственными преобразованиями, как мы делали для группы 0(п).
Метод получения неприводимых представлений симплекгической группы Sp(n) очень схож с тем методом, которым мы воспользовались для получения неприводимых представлений ортогональной группы О (п).
Если мы от линейной группы GL(n) переходим к ее симплекти-ческой подгруппе Sp(n) в четномерном пространстве (/t = 2v), то представления группы GL(ri) с помощью тензоров заданной симметрии становятся приводимыми. Стало быть, кроме операции перестановки тензорных индексов, мы должны выполнять операцию свертки, которая коммутирует с симплектическими преобразованиями.
