Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 138

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 180 >> Следующая

водит к числу независимых компонент, равному
Если два индекса равны (например, 112 или 122), мы получим одну стандартную таблицу
(И 12 \
\ 2 ИЛИ 2 )'
Таким образом, мы получаем п(п—1) независимых компонент этого типа. Компоненты, у которых все три индекса равны, должны обратиться в нуль. Поэтому размерность пространства тензоров
равна
3.= *4Нр«.
Наконец, для антисимметрических тензоров
%]
ш
существует одна стандартная таблица при каждом выборе индексов, и в ненулевой компоненте все индексы должны быть различными.
454
Глава 10 Линейные группы в п-мерном пространстве
Таким образом, размерность пространства антисимметрических тензоров третьего ранга равна Аналогичные рассуждения показы-
вают, что размерность пространства антисимметрических тензоров г-го ранга равна (”) ¦
Задача. Используйте этот метод для отыскания размерности пространства тензоров
F
ШШ
ШШ
Перечислите набор независимых компонент для случаев п = 3; п = 4.
Второй метод, который особенно полезен при малых значениях г, основан на разложении внешних произведений (см. § 12 гл. 7). Компоненты xt вектора х в пространстве Rn образуют тензор первого ранга, соответствующий схеме Юнга
?
Произведения компонент Xf и компонент yj второго вектора образуют внешнее произведение
? ® ?
которое можно разложить следующим образом:
? ®0 =?? + ?• (10.16)
т. е. на симметрический и антисимметрический тензоры второго ранга. Число компонент в левой части соотношения (10 16) равно га2, что совпадает с суммой размерностей га (га —|— 1)/2 —|— га (га — 1)/2 двух неприводимых представлений, стоящих справа от знака равенства.
Рассмотрим далее произведения компонент симметрического тензора второго ранга и компонент какого-нибудь вектора:
?? ® ? = ??? + 0° (10.17)
Число независимых компонент в левой части этого равенства равно п • [га(га-)- 1)/2]. Стоящий справа симметрический тензор третьего
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы Gi(n) 455
ранга имеет (”"3 2j независимых компонент. Вычитая из первого числа второе, найдем, что пространство тензоров
?
преобразующихся по группе GL(n), имеет размерность
ял? __ "2(л + 1) п(я+1)(2я + 1) _ л(л2 — 1) 1Q4
[21] 2 6 — 3
что согласуется с нашими прямыми подсчетами. Чтобы обозначать размерность пространства тензоров с симметрией ... A.J, мы пользуемся символом
Аналогично из внешнего произведения
\Р\ ® [1] = [р+1] + [Л 1] (10.19)
находим
„ = п . "N[p] - 'W,p+I| = «¦(" + Р- !) - (" +'). (10.20)
Наиболее мощный метод отыскания размерности лЛ^] состоит в использовании правила ветвления, аналогичного правилу ветвления для симметрической группы (см. § 5 гл. 7). Мы кратко наметим ход рассуждений и сформулируем результаты.
Группа GL(n) содержит много подгрупп, которые изоморфны группе GL(n — 1). Такие группы мы, например, получим, если ограничимся теми преобразованиями из GL(ri), которые оставляют компоненту хп неизменной. Неприводимое представление группы GL(ri) будет разлагаться в сумму неприводимых представлений подгруппы GL(n — 1). Предположим, что неприводимое представление группы GL(ri) соответствует схеме Юнга [Я[ ... Хп]\
??0 ?0 0
Независимые компоненты тензора—это те компоненты, которые соответствуют стандартной таблице. Если индекс п встречается в стандартной таблице, он может появиться только в последней ячейке каждого столбца схемы, как это указано на фигуре крестиками. Иначе говоря, индекс п может появиться только в тех ячейках, которые входят в „избыток0 каждой строки по сравнению с последующей. Когда мы переходим к подгруппе GL(n — 1), индекс п может
456
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
исчезнуть из таблицы. В этом случае мы получаем все возможные схемы с (п — 1) символами, которые можно получить из первоначальной схемы. Таким образом, неприводимое представление группы GL(n), соответствующее схеме
[Я, • • • Ъп\,
разлагается в сумму неприводимых представлений группы GL (я — 1), соответствующих схемам
[М--- 4-і].
где
К > к > 4 > К > • • • > 4-І > 4-І > К• (10.21)
Приравнивая размерность представления группы GL(n) сумме размерностей представлений в полученном разложении, найдем рекуррентную формулу
а. <10-22)
К1 кп~1
где сумма взята по всем наборам X'v ..., А.'-г удовлетворяющим соотношениям (10.21).
Для симметрических тензоров имеем рекуррентную формулу
nN{r] = n-1N[r] + n-1Nlr_1]+ ... +n'1N[l], (10.23)
а для антисимметрических тензоров —
яЛГи=п-іЛГ[іП + "-іЛГ[і,-і]. (10.24)
Дня получения общего выражения для размерности ”А^] можно воспользоваться правилом ветвления. В результате получим
nN[M “ D (п — І,' п — 2, ., 0) ’ (10.25)
где l] = Xj-\- п—j и D—определитель, заданный соотношением (7.23).
§ 4. Неприводимые представления подгрупп группы OL (я): SL (я), U (я), SU (я)
В этом параграфе мы покажем, что неприводимые представления группы GL(ri) остаются неприводимыми, когда мы переходим к некоторым ее подгруппам.
Элементы матриц неприводимого представления группы GL(n) тензорами г-го ранга будут однородными многочленами степени г относительно элементов atj матрицы преобразования а [см. (10.1)]. Если представление подгруппы Н такими матрицами оказывается приводимым, то его матрицы с помощью подходящей замены базиса можно привести к виду (3.113). Это преобразование
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed