Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Из изложенных выше рассуждений мы знаем, что неприводимые представления групп SL(n), U (п) и SU (п)—это те представления, которые были найдены в § 2 настоящей главы. Однако для указанных подгрупп группы GL(n) эти представления могут и не быть независимыми.
Схема Юнга [Iя] имеет одну стандартную таблицу, и соответствующее неприводимое представление группы GL(n) одномерно. В качестве базисного вектора этого представления можно взять тензор [х(1) . .. х(л)] из § 2 настоящей главы. Если мы совершаем преобразование с матрицей а, этот тензор умножается на det а.
460
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Задача. Докажите последнее утверждение, выписывая преобразование антисимметрического тензора [xf^ ... х^].
Аналогично для схемы Юнга [2"] существует одна стандартная таблица
mm шв
??
и один независимый базисный элемент. Это представление одномерно. Если мы выполняем преобразование с матрицей а, то тензор умножается на (det а)2.
В общем случае ддя схемы [sn] представление одномерно, и тензор умножается на (det а/, если мы производим преобразование с матрицей а.
Предположим, что имеется представление группы GL(n) со схемой [Я; ... Хп]. Если к схеме добавить столбец из п клеток, то единственным набором индексов, расположенных в стандартном порядке, который можно вписать в этот дополнительный столбец, будет набор 1, 2, ..., п. Таким образом, число стандартных таблиц для нового представления
[A-I+1, А2--|-1, ..., Я„+1]
то же, что и для представления ... А„]. Единственное изменение в матрицах представления состоит в том, что они умножаются на общий множитель det а. Точно так же если мы добавим s столбцов длины п к схеме [Я[ ... А„], то новая схема A2 + s, . • A„ + s]
будет иметь то же число стандартных таблиц, что и схема ... А„]. Матрицы этого нового представления отличаются от матриц представления [Я[ ... Хп] на множитель (det а/.
Если мы рассматриваем унимодулярные подгруппы GL(n) такие, как SL(n) или SU (п), то det а = 1 и представления, соответствующие схемам [Я[ ... Хп] и [>,! + $, A2 + s, ..., A„ + s], эквивалентны. В случае унимодулярных групп необходимо рассматривать только такие схемы, у которых число строк меньше п:
[^1^2 ... = ХП, А„, ..., Ая_] А,я]. (10.29)
Существует еще одно соотношение эквивалентности, которое встречается в случае унимодулярных групп. Схема fl”-1] имеет п стандартных таблиц. Число базисных функций для этого представления
§ 5. Ортогональная группа в п-измерениях
461
в точности то же, что и для представления со схемой [1]. При уни-модулярных преобразованиях эти два представления эквивалентны:
Задача. Покажите, что для унимодулярных преобразований
Общий результат мы сформулируем без доказательства. Для унимодулярных преобразований
[Я1Я2 ... А,„] = [А,і—Ял, —Я„_і, ..., —Я2]. (10.30)
пі
Схема, показанная сплошными линиями на этой диаграмме, эквивалентна пунктирной схеме, дополняющей ее до прямоугольника. В частности,
[Г-Ч^Ц] и
§ 5. Ортогональная группа в п-измерениях. Свертка. Тензоры с нулевым следом
Если мы от линейной группы GL(n) перейдем к ее ортогональной подгруппе 0(п), то представления с помощью тензоров, обладающих симметрией заданного типа, не будут более неприводимыми. Причина этого состоит в том, что, кроме операции симметризации, которой мы пользовались при построении неприводимых представлений группы GL(ri), появляется новая операция свертки, которая коммутирует с ортогональными преобразованиями.
Предположим, что рассматривается пространство тензоров г-го ранга с компонентами ... t В случае линейной группы GL(n) единственными операциями, которые коммутируют с кронекеров-ской г-й степенью преобразования а, являются перестановки тензорных индексов. В § 2 настоящей главы мы воспользовались операторами перестановок для того, чтобы разложить пространство тензоров г-го ранга на подпространства тензоров заданной симметрии. В случае ортогональных преобразований
aijaik — ajiaki —bjk.
(10.31)
462
Глава 10. Линейные группы б п-мерном пространстве
Если, например, приравнять первые два индекса тензора Z7* *2.„* и просуммировать по всем значениям ix = г2, то мы получим след тензора по первым двум индексам
i,=e.,«Av.-v <‘°-32>
Процесс свертки дает новый тензор (г— 2)-го ранга. Операция свертки коммутирует с преобразованием тензора:
',=aviav2 ••• av/V2-v <10-6)
r/d2) „
Ft, ...tr= F,„t... ir = aijaljalijz ... ey/y, v, ... y, =
= 6'ЛаУз ••• - л-=
<10 33)
Операцию свертки можно применять к любой паре индексов. В силу
этого существует г (г — 1)/2 следов /^“f*(a < р; a, р=1.......г)
тензора г-го ранга.
Выберем теперь из пространства тензоров г-го ранга подпространство тензоров, у которых след по любым двум индексам равен нулю. Из (10.33) мы видим, что это подпространство инвариантно; тензоры r-го ранга, у которых след равен нулю, переходят друг в друга при преобразованиях, индуцированных группой О(п). В самом деле, можно показать, что всякий тензор Fi( ... і допускает однозначное разложение на тензор F°, у которого след равен нулю, плюс тензор вида
