Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Индексы этого тензора упорядочены в соответствии со схемой Юнга Т. Когда мы применяем симметризатор Y = QP к схеме Т, оператор Р оставляет тензор (10.12) без изменений (с точностью до множителя). Оператор Q переставляет индексы в каждом столбце в отдельности. Поэтому (с точностью до числового множителя) компоненты тензора F = \G равны: +1 для индексов, получающихся из индексов тензора (10.12) при четных перестановках, —1, если индексы получены нечетной перестановкой, и 0—в других случаях. Таким образом, все неприводимые подпространства для схем, у которых т^.п, реализуются.
Трансформационные свойства тензора общего вида г-го ранга (10.6) были такими же, как и у произведения компонент г векторов (10.5). Для симметрических и антисимметрических тензоров г-го ранга можно построить простые тензоры из произведений компонент векторов. Чтобы получить полностью симметрический тензор г-го ранга,
450
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
выберем все векторы х(/) в (10.5) равными одному и тому же вектору х. В этом случае мы получим симметрический тензор с компонентами х. х. ... х, . Собирая вместе все множители с одним и Ч l2 Т
тем же значением индекса, мы сможем переписать компоненты в виде
Х\ 2
хпп, где
а1 + а2+ ' ' • + ап = Г •
Например, при г= 2 мы получаем компоненты х\ (/=1, ...,«) и
XtXj (i<j, / = 1.......п — 1).
Антисимметрический тензор второго ранга можно построить из двух векторов х(1) и х(2>. Выпишем матрицу
И1)
2
h
х<-р
h
П
Минор, содержащий две строки
м
JC?) — h
f(2) ¦
v-(2)
2
JC«2>
h
С (2)
v(2)~
JC«2)
.
(10.13)
служит компонентой (/lt У антисимметрического тензора
Ту
Аналогично, компоненты полностью антисимметрического тензора
ш ы
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы GL(n) 451
/•-го ранга можно образовать из миноров порядка г матрицы
[х(1)х'
(2)
г(г)1 =
' v(I) Х1
xf> .
Х(П-Х1
(10.14)
При г = п мы получаем тензор с одной независимой компонентой — полностью антисимметрический тензор /"-го ранга. Преобразование а в пространстве Rn приводит к умножению этого тензора на det а. Если ограничиться подгруппами, содержащими только унимодулярные матрицы, то антисимметрический тензор [х(1) . . ¦ х(л)] оказывается инвариантным при всех преобразованиях и кратным единичному ан-тисимметрическому тензору п-го ранга
<v2
—|— 1, если /j/2 чисел 1...........
/„ — четная
перестановка
п,
і =•( —1, если 1^12 ... 1п — нечетная перестановка (10.15) п | чисел 1............п,
( 0, если какой-либо индекс повторяется.
Компоненты тензора е/ / чения в любом базисе.
і
имеют одни и те же числовые зна-
Задачи. 1. Покажите, что тензоры [х( ' . антисимметрических тензоров г-го ранга.
2. Покажите, что тензоры xtxt ...х1
метрических тензоров г-го ранга.
. х'л)] образуют базис для образуют базис для сим-
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы QL (и)
В этом параграфе мы найдем число независимых компонент тензоров, обладающих симметрией определенного типа. Прежде чем приводить общую формулу, рассмотрим несколько простых примеров. При г = 3 тензоры
симметричны по всем трем индексам, вследствие чего мы получаем одну независимую компоненту при любом выборе индексов 12, /3 независимо от их порядка. В качестве типичной независимой компоненты выберем компоненту, индексы /2, /3 которой отвечают
452
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
стандартной таблице (см. § 3 гл. 7), т. е. упорядочим индексы так, чтобы Например, при п= 1 существует только одна
компонента
При га—2 индексы I могут быть равны только 1 или 2, и четырьмя независимыми компонентами будут
F\mm
Эту процедуру легко обобщить на случай полностью симметрического тензора г-го ранга для произвольного га. Выберем независимые компоненты так, чтобы они соответствовали стандартной таблице, т. е. чтобы Тогда
^1 <1 ^2 —I- 1 ^3 —I- 2 < ... < -)- г — 1
суть различные целые числа из набора 1, 2......(га + г—1). В силу
этого число независимых компонент равно числу способов, которыми
можно выбрать г различных чисел из набора 1, 2..............(я+ г — 1),
т. е. числу сочетаний из га+г — 1 по г\
ГП-
При п = 2, г = 3 получим число компонент, равное ^gj = 4,
что согласуется с приведенным выше подсчетом.
При г = 3 мы рассмотрим далее симметрию типа
Для разбиения [21] в симметрической группе S3 существуют две стандартные таблицы
ms и шш а ш
В тензор
вместо любого ИЗ индексов 1Ъ 13 мы можем подставить любое из чисел 1, 2, . . ., га. Их следует расположить в естественном порядке.
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы GL(n) 453
Если /j = а < 12 = Ь < /3 = с, то стандартные компоненты имеют вид f00 „
0 Ш
Аналогичным образом мы можем поступить и в том случае, если некоторые из чисел і совпадают. При стандартном расположении любого набора чисел 12, 13 они не должны убывать при движении по строке слева направо и должны убывать при движении по столбцу сверху вниз. (Так как тензор антисимметричен по аргументам, стоящим в одном столбце, компоненты с двумя равными индексами в одном столбце обращаются в нуль.) Если все индексы различны, то при каждом выборе трех различных чисел , 12, /3 из набора 1, 2......п мы получим две стандартные таблицы, что при-
