Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Для некоторых подгрупп общей линейной группы GL (п) таких, как ортогональная группа 0(п) и симплектическая группа Sp(n), можно определить процесс свертки тензора, что позволит провести дальнейшее разложение.
Методы, применяемые в этой главе, тесно связаны с рассмотрением симметрической группы в гл. 7. Во многих случаях результаты гл. 7 будут сформулированы повторно в новой терминологии.
§ 1. Тензоры, преобразующиеся по группе GL(ti)
В § 1 гл. 5 мы рассмотрели, как строится произведение представлений. Предположим, что нам задана группа О линейных преобразований в /г-мер ном пространстве Rn (группа О, в частности, может быть точным представлением некоторой абстрактной группы). Вектор х в пространстве R„ имеет компоненты ..............хп. Пре-
образование а группы О преобразует вектор х в вектор х':
х' = ах, х',= а,,.х. (i= 1.....п). (10.1)
I IJ J
Рассмотрим теперь п2 величин Xtyj (і, j= 1...........п), которые
можно составить из произведений компонент двух векторов X и у в R„. Если преобразование (10.1) применяется к векторам в Rn, то совокупность величин xtyj подвергается преобразованию
x'ty'j = atkajixkyr (10-2)
Мы видим, что п2 величин xtyj преобразуются в соответствии с преобразованием а X а—кронекеровским квадратом преобразования а.
Совокупность п2 величин Ftj, преобразующихся по закону
F’ii=aika]iFki> (10-3> образует тензор второго ранга.
444
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Группа G преобразований в /г-мерном пространстве Rn индуцирует группу преобразований аХа » /г2-мерном пространстве тензоров Ж.. . В заданном базисе тензор Ж.. описывается своими п2 компонентами Ftj.
Компонентами тензора второго ранга служат п2 величин образованных из компонент любых двух векторов х и у, принадлежащих Rn. В частности, в качестве вектора х можно выбрать вектор, [х-я компонента которого равна 1, а все остальные компоненты равны 0, и, аналогично, выбрать вектор у, у которого v-я компонента равна 1, а все остальные равны нулю. Тензор второго ранга ^v(xy), построенный из этих двух векторов, имеет одну ненулевую компоненту:
“v(xy)iy = 6^6yv. (10.4)
Заставляя ji, v пробегать значения 1, 2, .... /г, мы получим п2 независимых тензоров второго ранга. Все тензоры второго ранга Ж.. можно выразить в виде линейных комбинаций базисных
тензоров ‘‘'’(ХУ).
Мы еще раз подчеркиваем, что тензоры Ж., преобразуются по группе G, так как закон преобразования (10.3) определяется
соотношением (10.1). Если мы выберем другую группу линейных
преобразований в /г-мерном пространстве, то получим другое пространство тензоров второго ранга.
Точно так же можно определить тензор /"-го ранга, преобразующийся по группе G. Если векторы х подвергать преобразованию (10.1),
то пг величин jd'bd2* . . . х[г) (L= 1, • • •, п, р = 1, .. г), обра-
1 2 Г
зованных из г векторов х(", х(2\ ..., х(г', принадлежащих /?„, преобразуются следующим образом:
х^' х^' . .. х{р' = а, . а. . . .. а. . х^х(2) . . . х^.К (10.5)
Ч 2 V 1-М 2}2 Т]Т h }2 >Т
Тензор r-го ранга Ж........—это величина, которая в данном
базисе описывается пг компонентами Fiiit...i и преобразуется как произведение г векторов:
F'i і і =ai ] ai ] ¦ ¦ ¦ аі і рі і .. і ¦ (10-6)
Т2,,'7 IM 2'2 Т* Т 2 }Г
Иными словами, преобразование а в Rn индуцирует преобразование аХаХ '-Ха (г сомножителей) в пространстве тензоров /--го ранга.
Сначала в качестве группы G мы выберем общую линейную группу GL(n) всех невырожденных линейных преобразований в /г-мерном пространстве. Позднее в этой главе мы рассмотрим некоторые подгруппы QL (/г).
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров
445
Задачи 1. Покажите, что всякий тензор г-го ранга можно линейно выразить через произведения, построенные из г вектороз в Rn.
2. Покажите, что матричные элементы преобразований тензоров г-го ранга представляют собой однородные многочлены степени г относительно матричных элементов преобразований группы G.
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров, преобразующихся по группе GZ. (я)
Начнем с тензоров второго ранга, В § 2 гл. 5 было показано, что кронекеровский квадрат а X а приводим. Переставляя индексы ij, /2 тензора Fijt, мы получаем тензоры
которые образуют базис симметричного и антисимметричного произведения представлений соответственно. Таким образом, перестановка индексов и взятие линейных комбинаций разлагает пространство тензоров второго ранга на два инвариантных подпространства.
Метод, которым мы воспользовались в этом простом случае, можно описать следующим образом. Каждой перестановке р, принадлежащей симметрической группе S2, мы сопоставили оператор р, действующий на тензоры второго ранга Fttt3. Оператор р, примененный к тензору F, дает тензор pF, где
Оператор р действует на индексы 1, 2. Рассмотрим, например, тензор F-ht2 при п= 4. Компонента тензора ^34 имеет индексы () = 3, i2 = i. Оператор перестановки р при р = ( 12) переводит ^ в г2, а г2 в , т. е. переводит 3 в 4, а 4 в 3:
Точно так же для компоненты Г23 с индексами г,—2, і2 = 3 имеем
(10.7)
(Р^)з}= ^43
можно записать в виде
