Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
образуют базис представления D{J). Чтобы вычислить WJM< разложим Aj, пользуясь формулой бинома:
(u1v2 — u2v1)Jl+J,~J =
I
и2Х2У‘ =
= S [J'-j^J)(u,x^-^J-»(u2x2f, (v}xl~\-v2x2)ll~h+J = (9.107)
= Л "ІҐ ( ¦Л “ Vі + ^< W-
-4,= S (-1)1(Л+{--/)(/'^ + У)(Л-І+-')х
К V
X ^ 1^,_+¦ Vj^2y— \l— Vj^H + v
и введем новое суммирование по переменным ml=j1—X — m2 = J — Уі + ^—v. Тогда
aj= v
тпи їїі2> ^
x uJ'+miuJ'-m>vji+mivJ*-m*x-'+m* + m’-xJ2-m'-mK (9.108) Воспользуемся теперь соотношениями (9.102) и (9.105) и найдем
А
J
Т7Ї T7Z2у X
ч / Г (Уі ~|~ У2 — J) *• (Уі — Л • (Уг —/1 -j- -О1- w
Al лі (у, Н-уя — У —Я.)1 <у, —Л —я*,)! А
{(Л + т,)! (у, - m.)I (У2 + т2)! (у2 - т2)! (У + М)\ (У - Af)!}1*
(У —У2 —|— Я, —|— /Я])! (у2 — Я, -)- т2)! (У —Уі Н- ^ тг)!
X
х фЛфЛЛ"-7 . (9.109)
/N ттгт т2 гп1 + т2 4 '
Положив т.]~\-т2 = М, получим коэффициент при Хм в (9.109)
П = (Л+Л - -01 (Л - Л+^)! (Л - Л+-О! X
X 2 cJ ф-^ф^2, (9.110)
тпхгп** mi* т2 4 7
т{, т2 т, + т2—М
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 439
Преобразование, позволяющее перейти от произведений
к базисным функциям JM, становится унитарным за счет введения в (9.110) нормирующего множителя ру такого, что
Поскольку ЧИСЛО Ру от М не зависит, мы можем вычислять его, выбирая М в (9.113) наиболее удобным образом. Положим в (9.113) M = J и воспользуемся выражением (9.111). В коэффициентах cJ m факториал
(Л — ^ — Щ)1
обратит в нуль все члены, для которых X > jx —mx, а факториал
(J — Л + Я- — m2)\ = (l— [j\ — OTj})!
обратит в нуль все члены, у которых X<(j\—mj. В результате останется один член, у которого X = jx—тъ и коэффициент с]тт примет следующий вид:
где
k {Q'l + Мі)1 (/і — та,)! (Л + ст2)! (;2 —То2)|}У» ]г—J— ^)! (ji—^ — тіЯ
k
X
{(7+ Af)t(7 — M)\}'t*
(9.111)
(7 — y2 -\- X -f- (j2 — X m2) \ (7 —]\ -f- A, — m2)!
Ш jj ТТІ2 ml + m2=M
(9.112)
есть унитарное преобразование, удовлетворяющее условию
TJi\f т2
ТХ1j "Ь TTlg
(9.113)
сі
+ Л)! Х
Г(У1 + ^1)1(Л + ^2)|-|'/г
L(/i — Щ)Чк — т2)\ J
-]'/2=(-1)Л-т'Х
440
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
В этом частном случае
TTl j, ТТІ2
ml + m2 = J
TJl |f tTl 2
/я , + m2=J
Пользуясь соотношением
г<2>г<>-г> = 1їїп^ <9U6>
эту сумму можно упростить. Будем рассматривать все факториалы как Г-функции. Тогда
(;)¦
х\____________________ Г (jt Н- 1)
у! (ж —у)! у! Г (jt — у + 1)
__ я sin я (х—У + 1) Г (у—х)
8Іпя(л:+1) я у! Г (—х)
_ (—1)У Г (у —-у) /у-дс-Г
- у,г<^Га = (-')’(,-Г1). <9.117,
Воспользовавшись этим результатом, перепишем (9.115) в виде (—l)h+ h-J (27)!
“m.mj (/ — Л + Уі)! (^ — У1 + Л) !
т„ т2 т, + т2«= У
х
х
2 (Л t-L t-i ')¦ <9118)
ТП j, ТХ12 Ш j + ТТІ2 “ •/
Применяя формулу бинома, получаем
(1+,/(.+,)<=2Ц)-2(;Ь'=2(«ШЬ"'=
а Р а, р
= (l+x)^=2(r|S)xY-
Y
откуда
(Т)= 2 (»)(;)• <9“9)
а, (3 0+В-^
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 441
Применяя это соотношение к (9.118), находим
(—1)A+ h-J (2/)!
m j, m2 Ш j -f ТҐІ2 — J
(У — y'2 + y,)! (У — у j + y2)! L J і + Л —
Г — 27 — 2 ] L У, + /2 — J J
(27)!
j\ + У 2 + + I
(J — ji~\~uY-U — УіH-У2)! L Л+Л— J
-P'H
1L і
(9.120)
где при выполнении последнего преобразования мы снова воспользовались (9.117). Из (9.113) имеем
Г (2У —|— 1) (У—у'2 + Уі)!(У—Уі —Н У 2) J (Уі + Уг — ,n inn
9j~[ й7+72+:/+Г> J ¦ (9Л21)
Коэффициенты Клебша—Гордана равны
(7>іУ>2|і/И) = рус4іШ2 (Л1^=«, + /«,). (9.122)
причем ру задается формулой (9.121), a cJm —формулой (9.111).
Выписанные только что формулы чрезвычайно сложны, но в некоторых частных случаях они значительно упрощаются,
a) J=j1-\-j2. В (9.111) остается лишь член с X = 0, и
c-L
(У + Af)I (7 — М)\
ш,ш2 [ (Уі + Ші) \ (Уі — m,)! (У2 + m2)! (y2 — m2)!
,/¦ (2у,)! (2y2)!
Pj — V (27)! •
/ 2У, \ / 2y2 \ Т/.
\ Уі — j { j2 — m2 )
(Лм)
(9.123)
6) J = j\ — /2- В (9.111) остается лишь член с X = j2—m2, и
__ / ічУг+^аГ
7,m3 ^ ' L
Ui + сті)! (Уі — ,пі)!
(Л + «з)! (У'г ^ т2)! (У Ь А?)! (У— ТИ)! Ру
¦А
= /~(27+1)І(2Л)1
(9.124)
(2Уі + 1)!
При у2 = 72
•/ = У1 ± -о •
442
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
поэтому эти два частных случая дают нам полную систему коэффициентов.
Коэффициенты Клебша — Гордана прн Уг = 1/г
і m2 = - I j
J=h +4 1 h 2 -| / j] + ml + 1 V 2 jx + 1 f ji — mx V 2y, + l і / у'і — mi Ч~ і V 2y, + 1 -if h + rn] V 2y, +1
Свойства коэффициентов Клебша — Гордана подробно изучены и составлены их таблицы.
Мы обнаружили, что к комплексно сопряженному представлению можно прийти подстановкой их->и2, и2-> — их. При этой подстановке
(9.125)
и функции преобразуются по представлению D(y)*. Из (9.125) и (5.140) мы находим соотношение между Зу-коэффициентами и коэффициентами Клебша — Гордана:
(m rn I,3 )= (—1)Уз"тз(2/з+1)”'Л(Уі"гіУ>г2ІУз> —"гз). (9.126)
V ТП j ТП2 J
Свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана можно найти из последнего равенства и результатов § 9 гл. 5.
ГЛАВА 10
ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ В я-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ; НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ
В этой главе мы введем определение тензоров, преобразующихся по любой группе О линейных преобразований в /г-мерном пространстве. Тензоры ранга г образуют векторное пространство размерности пг и являются базисом некоторого представления группы О. Пользуясь операторами перестановки (симметризаторами Юнга), мы можем разложить это представление на неприводимые представления группы G.
