Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
волнам. Учитывая, что Р содержит только плоские волны, получаем обобщение
(10.13):
р <*'> УЪ ^ - "-)• <29-23>
V W
Если подставить это выражение в (29.22), то оператор Гамильтона примет
вид
Н = j ф+ (х) {- JL. Дj ^ (х) d3x + 2 +
+ j ф+ (х) Ф (х) {4ni (^|р) 12 2 b №"iwx - bweiwx)} d3x,
W
(29.24)
где уже проведено интегрирование по х\ При этом интегрировании следует
применить некоторые хитрости, однако, поскольку это не дает читателю
никакой новой информации о квантовополевой теории, мы не будем их
обсуждать. Если еще разложить
224 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
электронные волновые функции в ряд
ф(х) = 2ак^=е** (29-25)
и использовать это разложение в (29.24), то исходный оператор Гамильтона
(29.22) принимает окончательный вид
Н = - а* ак + 2 +
к w
+ Й 2 (gwbwat+wak + g-w&wak-wak)- (29.26)
w,k__________________________
=нвз
Константы связи gw имеют следующий явный вид:
**" = -Цё?Г-г-' <29'27)
где 7 определена в (29.18). Чтобы перейти от (29.24) к (29.26), было
проведено интегрирование но х. Поскольку, однако, в этом интегрировании
согласно (29.24) и (29.25) участвуют только плоские волны, то оно
проводится очень просто и может быть выполнено самим читателем.
б) Металлы. И в этом случае наш замысел состоит в описании как
электронов, так и колебаний решетки в рамках континуальной модели.
Электронный оператор можно сразу позаимствовать из предыдущего изложения
в виде (29.19).
Поляризационные колебания, однако, чтобы не было противоречия с
экспериментальными данными, следует рассматривать несколько по-иному. В
то время как в предыдущем изложении нами использовалась модель, согласно
которой частота поляризационных колебаний не зависит от волнового
вектора, что хорошо согласуется с экспериментальными данными для полярных
кристаллов, в металлах прежде всего речь идет о взаимодействии между
электронами и акустическими колебаниями решетки, для которых имеет место
закон дисперсии ю = vk, где v - скорость звука. Этот закон уже был введен
в § 11 для континуальной модели, причем потенциальная энергия была
пропорциональна не з
Р2> а 2 (grad Р})3 (см. (11.32), а также (11.35)). Представим
5=1
поэтому энергию колебаний решетки в виде
Ер = | j-f - Р2 (х) +.-|- ((grad Pxf + (grad Pvf -f- (grad .Pz)2)j d3x,
(29.28)
где величины у и g еще подлежат определению и могут быть
§ 29]
ГАМИЛЬТОНИАН ФРЁЛИХА
225
подогнаны под экспериментальные результаты. При введении электрон-
решеточного взаимодействия также следует быть осторожным, поскольку
электроны в металле смещаются свободно и, следовательно, сильно
экранируют поле, вызванное каким-либо точечным зарядом. Можно показать,
что из-за этой экранировки вместо обычного кулоновского потенциала
возникает другой закон "-Мх-х'|
K(x-x') = Cj гр, (29.29)
Iх - х I
где к - так называемая постоянная экранировки. Поэтому в нашем предыдущем
выражении для энергии взаимодействия (29.21) кулоновский потенциал е/\х -
х'| следует заменить на (29.29), после чего получится следующее выражение
для энергии взаимодействия:
Евз = J j* ф+ (х) (х) К (х - х') (- div Р (х')) dsxd3x'. (29.30)
Если предположить, что экранировка очень сильная, то выражение (29.29)
при х Ф х' дает практически нуль, а при х = х' - бесконечно большой
вклад. При подходящем предельном переходе для к и С о выражение для К
принимает вид 6-функции. Так как явное проведение такого предельного
перехода ничего не дает для понимания существа дела, то мы опустим его и
в дальнейшем будем считать, что К имеет вид
К(х - х') = Сб(х-х'), где С = еЦ-. (29.31)
X
С помощью (29.31) выражение для взаимодействия (29.30) существенно
упрощается, так как теперь интегрирование по х' совершенно выпадает. Если
вновь вместо Р ввести канонически сопряженный импульс П, то, как легко
видеть, полный оператор Гамильтона принимает вид
Я=]> (х) а) ф (х) d?x +
+ 'М(5Т^ + |Г 2 (grad Pj)2| d3x -f-
I j=x,y,z j
+ С j" ф+ (x) ф (x) (- div P (x)) d3x. (29.32)
Также и здесь следует отметить, что поляризация опять-таки обязана своим
происхождением продольным колебаниям, поэтому для Р снова можно
использовать подстановку
<2ьзз)
причем следует принять во внимание, что теперь частоты <в за-15 х. Хакен
226 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
висят от w. Подстановка (29.33) и (29.25) в (29.32) дает, после
проведения элементарных преобразований, совершенно аналогичный (29.26)
оператор Гамильтона, где лишь константы связи gw имеют другое значение и
в явном виде могут быть представлены следующим образом:
= /SS;"- <"•">
Для теории сверхпроводимости окажется очень важным то обстоятельство, что
константы связи gw, которые пропорциональны 1/1 'у, тем самым также
пропорциональны 1/УМ, где М - масса иона решетки.
§ 30. Нестационарная теория возмущений (первый порядок).
Спонтанное и индуцированное испускание и поглощение
фононов. Представление с помощью диаграмм Фейнмана
В § 29 был введен оператор Гамильтона для взаимодействия между
