Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 73

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 118 >> Следующая

помощью операторов (28.40) и (28.42). Ограничимся стоящим в (28.24)
оператором П([\ который дается выражением (28.26). Часть Н(2) содержит
более высокие степени s, которые даже в случае гармонического осциллятора
невозможно рассмотреть точно. Мы проведем преобразование спиновых
операторов, соответствующим отдельным узлам решетки, в операторы спиновой
волны (28.40) и (28.42). Для этого выразим в Я(1) (см. (28.26)) операторы
st и "Г через операторы спиновой волны Sк- Это дает сначала
<28-45>
или, после простого изменения порядка суммирования,
Я(1> =-----(~ 2 e-ikleik'm/imV (28.46)
kk' \ 1фт J
Так как
1 = (1 - m) + т, (28.47)
то сумму, стоящую в (28.46) в скобках, можно разложить следующим образом:
2 gi(k'-k)m 2'(m) (28.48)
6J-J-. -2-E(k)
Первая сумма в (28.48) очевидным образом представляет собой символ
Кронекера бис', а вторая сумма зависит от волнового вектора к и не
зависит, ввиду свойства трансляционной симметрии, от индекса т. Так как
(28.48) имеет размерность энергии, то мы запишем это выражение в виде -
2/?(к). После этих промежуточных результатов получаем, наконец, для /7Ш
выражение
| = S SiSiE (к). (28.49)
Теперь могло бы показаться, что согласно этому результату проблема
спиновых волн сводится к проблеме гармонического
216
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
осциллятора. Выражение (28.49) имеет точно^трт же вид, что и набор
операторов Гамильтона отдельных осцилляторов, где операторы *St, *Sk
соответствуют операторам &к , Ьк-
ХЗднако предлагаемый пример может служить предостережением против
поспешности в подобного рода операторных вычислениях. Ведь мы еще не
установили, каким перестановочным соотношениям удовлетворяют операторы
(28.40) и (28.42). Только после этого можно было бы с уверенностью
сказать, является ли аналогия с гармоническим осциллятором
гарантированной или нет. Если образовать перестановочные соотношения,
вновь выразив (28.40) и (28.42) через операторы спина в узлах решетки, то
получим
Правая часть (28.50) после использования перестановочных со-
К сожалению, как следует из (28.50) и (28.51), получаются никоим образом
не осцилляторные перестановочные соотношения. Этот результат станет чуть-
чуть получше, если построить среднее значение (28.51) на собственных
функциях (28.29). Тогда в общем случае можно положить
Если использовать в качестве Ф волновую функцию основного состояния, то
получим
В этом случае, как сразу видно, правая часть (28.50) становится символом
Кронекера бкк' и мы получаем
Аналогичным образом можно было бы ожидать, что результат
(28.54) останется приближенно справедливым, если вместо основного
состояния Фе теперь в (28.52) использовать волновые функции, в которых
перевернуто лишь относительно небольшое число спинов.
В любом случае следует констатировать, что перестановочные соотношения
между операторами *Sk и Sk не являются точно бозевскими перестановочными
соотношениями. Можно, конечно, задаться вопросом, нельзя ли так
видоизменить олреде-
SiS?- - St'Si =4-2 {sfsr - st-si }. (28.50)
. , s" ' "
11'
6ll'(_2szl)
отношений для операторов sf и si принимает вид
(28.51)
i
<ФЫФ> =S2.1-
(28.52)
(28.53)
(28.54)
§ 281
МАГНОНЫ
217
ление операторов iS*, чтобы получились действительно точные бозе-
операторы. Это можно сделать с помощью преобразования Холъштейна -
Примакова. Для этого рассмотрим отдельный спин и попытаемся выразить его
операторы s+, s~ и sz через бозе-операторы Ъ+ и Ъ. Для этого представим
sz в виде
где sz в основном состоянии соответствующего гармонического осциллятора =
-1/2, а в первом возбужденном состоянии, напротив^ +1/2. Поскольку в
перестановочных соотношениях (28.50) в правой части стоит sz, то при
преобразовании s+ и в бозе-операторы кажется разумным ввести
нормировочный множитель, грубо говоря, вида Vsz. Этот подход еще не
совсем точен, однако он дает основополагающую идею. А именно, если
сделать следующие подстановки (преобразование Холъштейна - Примакова):
то оказывается, что, например, s+ и s~ удовлетворяют перестановочному
соотношению
(см. задание 6).
Аналогичным образом удовлетворяются перестановочные соотношения между s+
и sz, а также s~ и sz, если использовать для s~ и sz правые части
уравнений (28.55) и (28.57), а для b принять бозевские перестановочные
соотношения. Очевидно, что преобразования (28.56) и (28.57) только тогда
имеют смысл, когда соответствующий гармонический осциллятор лишь слабо
возбужден, так что среднее значение Ъ+Ъ меньше единицы. Преобразования
(28.55-28.57) можно провести для каждого спина в узле 1 и тем самым
выразить оператор Гамильтона (28.20) через операторы ^tb\. В этом случае
bt и Ь\ являются операторами осциллятора, которые ставятся в соответствие
локальному спину. Теперь можно разложить радикалы по операторам Ъ\ЬХ и
перейти от локальных бозевских операторов к таким, которые соответствуют
бегущим волнам, т. е., например, к операторам
4-+ь+ь.
(28.55)
5+ = Ь+У1-Ь+Ь,
(28.56)
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed