Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
плотности р(х). Функция Лагранжа, как известно, имеет вид
Ь = Т-и-Еы. (29.9)
§ 29]
ГАМИЛЬТОНИАН ФРЁЛИХА
221
Уравнение движения получаем из уравнений Лагранжа
(29.10)
Проведение операции варьирования б уже обсуждалось подробно в § 9. С
помощью уравнения (29.10) и явных выражений (29.5) и (29.8) сразу же
находим уравнение движения
У (Р (X') + G"2 Р (X')) = - J р (х) <***• (29.11)
Правая часть этого уравнения согласно элементарным формулам классической
электростатики представляет собой электрическое смещение D(x), которое
создается зарядовой плотностью р(х). Для отыскания не определенной до сих
пор постоянной у рассмотрим уравнение (29.11) в статическом случае. Тогда
получаем
Y<b2P(x') = D(x'). (29.12)
Напряженность поля и смещение, как известно, связаны друг с другом
соотношениями
D = Е + 4яРобщ, (29.13)
или D = еЕ. (29.14)
Комбинируя (29.13) и (29.14), получаем непосредственно соотношение
4 л Р.
общ
1-4>. (29.15)
При этом через Р"бщ мы обозначили полную поляризацию, которая создается
как поляризацией электронов ионных оболочек так и смещениями ионов. Оба
эти механизма поляризации откликаются на присутствие статического поля,
так что под е следует понимать статическую диэлектрическую проницаемость.
Нас, однако, интересует только та часть, которая связана с поляризацией
собственно решетки. Чтобы выделить эту часть, представим себе, что после
того, как поле было медленно включено, оно очень быстро выключается. При
быстром выключении за полем могут следовать только электроны, так что в
этом случае мы подучаем связь между поляризацией и смещением D, которая
формально выглядит как (29.15), однако теперь левая часть относится
только к электронной поляризации 6Р, а в теперь следует заменить на
диэлектрическую проницаемость при очень высоких (порядка
222 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
оптических) частотах. Отсюда находим соотношение
4я6Р = - f 1-------) D.
(29.16)
Складывая (29.15) и (29.16) (при этом следует обратить внимание на знак
минус перед SP, который появляется из-за выключения поля), получаем для
той части поляризации, которая создается только колебаниями решетки,
следующее выражение:
Если сравнить теперь (29.12) с (29.17), то мы получим, наконец,
остававшуюся не определенной до сих пор константу 7:
Чтобы получить полный оператор Гамильтона - поляризационные колебания
плюс электроны - следует еще добавить часть, описывающую энергию
электронов. Для того, будем считать, как уже предполагалось ранее, что
электроны находятся на нижнем крае зоны и во взаимодействие с колебаниями
решетки дают вклад только сравнительно большие длины волн. Это означает,
что можно уверенно воспользоваться методом эффективной массы, т. е.
полностью отвлечься от периодичности потенциала электрического поля и
описывать электроны только с помощью их эффективной массы т*. Если вновь
операторы электронного волнового поля обозначить через ф+(х), ф(х), то
При этом одновременно классическая плотность заряда р(х) переходит в
оператор зарядовой плотности:
Если подставить (29.20) в (29.8) и провести интегрирование по частям по
координате х', то Нвз переходит в выражение
Тем самым мы получили все необходимые выражения, чтобы построить полный
гамильтониан. Для этого припомним еще замечание из параграфа об
"электронах, танцующих на канате", что оператор Гамильтона
взаимодействующей системы получается следующим образом: вначале
составляется оператор Гамильтона одной подсистемы с учетом влияния на нее
другой подсистемы,, а затем к ней прибавляется энергия (без учета
взаимодействия)
4яР = 4я (Робщ + 6Р) = _ _Lj D
(29.17)
(29.18)
(29.19)
р(х) = ег|5+(х)ф(х).
(29.20)
§ 29] ГАМИЛЬТОНИАН ФРЁЛИХА 223
второй подсистемы. Здесь мы уже ввели выражение для энергии подсистемы
поляризационных колебаний. Теперь нам необходимо лишь добавить энергию
свободного электронного поля. Если в
выражение для энергии (29.5) вместо Р ввести канонически сопряженный Р
импульс П и собрать вместе выражения (29.5),
(29.19) и (29.21), то получим, наконец, наш полный оператор Гамильтона
Я = jV (х) (- А) ф (х) d3x+ J П* (х)+-|- С0*р2 (х)) d3x+ + J J*+(х) г|)
(х)1---------ту (- divx< Р (х')) d3xd3x'. (29.22)
Если рассмотреть в (29.21) член divP, то с помощью разложения по плоским
волнам можно обнаружить, что в нем остаются только продольные волны.
Поэтому с самого начала в полном операторе Гамильтона (29.22) можно
ограничиться продольными колебаниями решетки.
Выражение (29.22) вначале можно рассматривать как классическое выражение
для энергии классического поля поляризации и шредингеровского волнового
поля. В этом отношении
(29.22) представляет собой феноменологическое выражение для энергии.
Однако у нас есть все необходимые средства, чтобы проквантовать это
выражение для энергии, что делается совершенно аналогично правилам §§ 11,
13 и не нуждается в дальнейшем обсуждении. Целесообразно, далее, провести
разложение поля поляризации Р и электронного волнового поля по плоским
