Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
(28.57)
s~ = У1 - Ъ+Ъ Ъ,
s+s~ - s~s+ = 2s2
(28.58)
(28.59)
Следует помнить, что при этом индекс 1 относится к локализованным
осцилляторам, а индекс к, напротив, относится к осцил-
218
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
ляторам, соответствующим бегущим волнам. Операторы 2?к"и эрмитово
сопряженные им операторы Вк вновь удовлетворяют бозе-перестановочным
соотношениям.
Все члены нового оператора Гамильтона, вплоть до квадратичных, теперь
совпадают с членами прежнего выражения для Н, если только заменить Sk и
Si на операторы Вк и Вк. Преимущество преобразования Холыптейна -
Примакова состоит в том, что оно систематическим образом выявляет те
отклонения в членах высшего порядка, которые возникают из-за того, что S+
и S~ не точно удовлетворяют бозевским соотношениям.
В литературе, вообще говоря, имеются другие методы, например метод
индефинитной метрики, однако мы не будем углубляться в них.
Задания к § 28
1. Доказать (28.11).
Указание. Умножить (28.10) слева на s~ пли s+ и воспользоваться (28.14).
2. Определить общую собственную функцию для (si + S2)2 и sи + s2z и
показать, что при подходящем выборе "const" и / в (28.16) этот оператор
Гамильтона дает правильные собственные значения энергии (28.4).
3. Показать, что (28.18) коммутирует с (28.17).
4. С помощью (28.9) преобразовать (28.17) в (28.20).
5. Сравнить экситоны Френкеля со спиновыми волнами. Для этого
воспользоваться аналогией sf sf *<*¦ d\d\.
6. Доказать, что для операторов (28.55-28.57) имеет место перестановочное
соотношение (28.58).
Г л а в а V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ
§ 29. Гамильтониан Фрёлиха для взаимодействия между
электронами и фононами
В этом параграфе будет введен оператор Гамильтона для взаимодействия
между электронами и колебаниями решетки. Основная идея этой главы состоит
в том, чтобы по возможности просто представить как движение электронов,
так и колебания решетки. Для этого предположим, что электроны находятся
вблизи нижнего края зоны, т. е. их функция Блоха имеет малый волновой
вектор к и тем самым соответствующие длины волн велики сравнительно с
постоянной решетки. Равным образом примем, что для взаимодействия с
электронами важны только такие колебания решетки, длины волн которых
много больше постоянной решетки. В обоих случаях кажется естественным
отвлечься от детальной структуры решетки и рассматривать движение
электронов и ионов в континуальной модели.
Вначале рассмотрим
а) Полярные кристаллы. Исследуем вначале поляризационные колебания.
Эти поляризационные колебания будем рассматривать, руководствуясь
классической электродинамикой. Припомним кратко, как рассматривают
поляризацию Р(х) среды в классической электродинамике. Для этого вначале
исходят из отдельного диполя. Обозначим вектором q расстояние между
зарядами диполя, колеблющуюся массу диполя - через тп, а его собственную
частоту - через со. Полная энергия тогда дается выражением
¦f-(q* + (c)V). (29.1)
От находящихся в узлах решетки дискретных диполей перейдем к непрерывному
распределению диполей. При этом будем считать, как это обычно
предполагается в теории дисперсии, что диполи не связаны друг с другом.
В остальном предельный переход к непрерывному распределению проводится
совершенно аналогично § 9. При этом нужно только еще учесть, что в итоге
мы ищем не отклонение q, а выводим уравнение для дипольного момента и
затем переходим, в смысле обычной электродинамики, от дипольного момента
к плотности диполей. Если эффективный заряд, входящий в ди-
220 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
польный момент, обозначить е*, то следует, таким образом, сделать замену
e*q" -* Р(х), (29.2)
Далее, как обычно, введем с помощью соотношения
т = р <Рх (29.3)
плотность массы. Если воспользоваться сокращением
~i = yd^ (29.4)
то кинетическая Т и потенциальная U энергии свободных колебаний поля
поляризации принимают вид
Г = J -j- Р2 (х) d3x, U = J ^ Р2 (х) &х. (29.5)
В то время как частоту <в можно отождествить с частотой оптических
колебаний решетки (мы вскоре увидим, что нам следует учитывать только
продольные колебания), константа у должна быть еще определена из
феноменологической теории.
Для этого рассмотрим энергию взаимодействия между электронами и
поляризационными колебаниями. Согласно электростатике, энергия
взаимодействия электронного заряда е в точке х с дипольным моментом Р в
точке х' дается выражением
e|7f?TP- <29-6>
В случае непрерывно распределенной зарядовой плотности р(х) и непрерывно
распределенной плотности диполей Р(х') выражение (29.6) переходит в
(х - х) 1*-хТ
р {x)dsx?-bf3P(x')ft'. (29.7)
Интегрируя по х и х', получаем выражение для энергии взаимодействия Ею
поля поляризации Р(х) с непрерывно распределенной зарядовой плотностью
р(х):
Еъз = JIр (х) 17^7? р (х) dZx d%x'' (29'8)
Предположим на время, что плотность заряда р(х) задана, и исследуем
уравнения движения для поляризационных колебаний под влиянием зарядовой
