Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
справа налево, что, возможно, потребует некоторого изменения привычки,
однако окажется чрезвычайно полезным для формулировки правил вычисления.
Приходящий электрон будем представлять отрезком прямой линии с
указывающей влево стрелкой. Затем взаимодействие с колебаниями решетки
представим узлом диаграммы (или вершиной от английского "vertex").
Уходящий после взаимодействия электрон Рнс- 38. Спонтанное ис-
вновь представляется прямой линией щсканпе фонона.
со стрелкой, а уходящий фоион - волнистой линией со стрелкой (рис. 38). С
помощью этих и аналогичных диаграмм, с которыми мы познакомимся позже,
можно не только очень наглядно описать происходящие процессы, но - и это
как раз основное в применении диаграмм - с помощью диаграммы можно
установить точные правила вычисления, позволяющие найти функцию конечного
состояния. Для этого запишем функцию конечного состояния в виде
Ф (t) ^ 2 ck,w (t) а?ь+Ф0 + яМ>0. (30.15)
k,w
Задача теории состоит в вычислении коэффициентов ct,w ш. Рецепт
вычисления этих коэффициентов следующий:
приходящая электронная волна е гЕк"т О4---------------2-
уходящая электронная волна егЕкТ -<- О
выходящая решеточная волна e*"wT .Q
вершина - igw О
В вершине используется закон сохранения импульса %ко = = ftk+ftw для
приходящей и уходящих волн. Стоящие в схеме справа функции следует
перемножить и затем проинтегрировать от начального момента времени to (мы
постоянно будем полагать ta = 0) до конечного момента времени t. Этот
рецепт позволяет получить следующие выражения для коэффициентов:
t
ck,w (*) = - igUk+w,k" j ei("k.-w+"w-''k.)* dT. (30.16)
0
Как показывает сравнение этого выражения с (30.13), это и есть
230 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
полученный нами ранее результат. Внимательный читатель установит, что
вывести эти правила совсем нетрудно и его задача в других случаях будет
постоянно заключаться в том, чтобы самому получить аналогичные правила
для каждого данного взаимодействия.
Интегрирование в (30.16) выполняется сразу и в результате получаем
= gwSk-1-w.k.^-1, (30.17)
где введено сокращенное обозначение
А = eko_w + cow - eko. (30.18)
Что же мы получили, вычислив коэффициенты с отдельных функций состояния?
Согласно основному правилу квантовой механики, квадрат модуля
lck,w(f)l2 (30.19)
определяет вероятность того, что система находится в соответствующем
состоянии. В нашем случае, следовательно, в состоянии с одним электроном
с волновым вектором к и одним фопоном с волновым вектором w.
Дифференцируя (30.19) но времени, найдем вероятность перехода в единицу
времени (в секунду), которая, таким образом, дает меру того, с какой
скоростью электрон из начального состояния рассеивается в конечное
состояние с испусканием фонона. Это выражение имеет вид
W78 = 4г I *.w (012 = I sw I2 8k+w,k. 2 (30,20)
Функция si в предельном случае большого t становится 6-функцией Дирака:
= 6 (А). (30.21)
Условие, что она отлична от нуля, только когда ее аргумент А = 0,
представляет, как можно видеть с помощью (30.18), закон сохранения
энергии:
энергия приходящего электрона = энергия рассеянного
электрона плюс энергия испущенного фонона. (30.22)
Для приложений, как, например, в следующем параграфе, посвященном
электропроводности, важно вычислить, с какой вообще вероятностью электрон
рассеивается из начального состояния в какое-либо конечное состояние.
Согласно основным правилам статистики, вероятность протекания какого-либо
процесса равна сумме парциальных вероятностей каждого отдельного
процесса.
§ 30]
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
231
В данном случае мы получаем, таким образом, для полной вероятности
перехода следующее выражение:
б-фупкцпя, естественно, имеет смысл только под интегралом. На атом
основании сумму по w следует заменить интегралом. При атом следует ввести
соответствующее правило вычисления волновых векторов w. Как мы уже видели
ранее на примере колебаний сплошной среды, волны решетки, так же как и
электронные волны, должны удовлетворять условиям периодичности.
Следствием этих условий являются следующие явные выражения для w:
wx---j-nд., wy -= - п-у wz'-^-nz, (о0.25)
где пх, n,j, пг - целые числа, которые ввиду конечности постоянной
решетки а кристалла изменяются вплоть до значений \щ\ = = L/(2a) (L -
линейный размер кристалла).
Сумму но w, как легко видеть, можно переписать формально следующим
образом:
Эта форма записи позволяет немедленно ввести интеграл, если только
выразить приращении dn согласно (30.25) через dw. Тогда (30.26) переходит
в
Вначале могло бы показаться, что вероятность перехода пропорциональна
объему. Однако это не так, поскольку константы связи gw сами зависят от
объема согласно соотношению
(30.23)
W
Если подставить сюда (30.20) и (30.21), то получим
(Еполн 2 I gw I" 2лб (t'ko-w - ?k" + <'JW).
(30.24)
W
2= 22 2 • • • dnxdn,jdnz, где drij = 1.
(30.26)
W nX'vy*nz
так что ТЕцолн окончательно принимает следующий вид:
1Еп
