Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
"к _4±К2 + 4)1/а
ук Лк
(42.37)
Далее получаем соотношение
ukvk = ± А к/2Як,; (42.38)
где введено сокращенное обозначение
Ек = № + МУ'\ (42.39)
Можно показать (чего мы не будем здесь делать), что из выражения для
энергии следует условие ukvk>0, которое и решает выбор до сих пор не
определенного знака в выражении (42.38). Отсюда получаем формулы
Дк ук Лк
312
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
Теперь следует учесть, что Лк также зависит от и, v. Поэтому, если
подставить результат (42.40) в (42.35), то и, v можно исключить и тогда
получается уравнение для величин Лк:
Лк^4 (42.42)
Е
г'к'
Это уравнение - относительно сложное, поскольку Лк входит также и в Ек-
Естественно, можно попытаться решить уравнение (42.42) с помощью
вычислительной машины. Однако определенное представление о смысле этого
уравнения можно получить, приняв следующую модель для Ek,k':
| F0 для | Ек j, | Е\с |': < Гио,
V kli' "In (4Z.4. >)
(О в остальных случаях. '
Эта подстановка следует из определения Fkk' (см. (42.33)) и Oc.k'.w (см.
(41.27); обратить внимание на знак знаменателя в этом выражении).
Положим, далее, в основу этой модели своего рода среднюю частоту
колебании решетки со. Тогда в рамках этой модели сразу получаем
Лк " 0 при |Як|>Й",
Лк - Л при | 2?к | < Йю.
При помощи подстановки (42.43) уравнение (42.42) принимает вид
1 У°^2(42 -ЬД2)^' (42,44)
Суммирование по к при этом, в силу условия (42.43), оказывается
ограниченным. Как можно показать, в уравнении Ек = Ек - р энергия р - это
энергия на поверхности Ферми, так что суммирование в (42.44) следует
распространить только на область вблизи поверхности Ферми-ha^E'^ho). Как
обычно, сумму заменим интегралом. Поскольку к и Ек связаны между собой,
то интеграл по d3k можно выразить через интеграл по dE'\
d3k = D(E')dE',
где D{E') - плотность состояний.
Далее положим
- D(E') = D(E')
§ 42]
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА
313
причем V - объем кристалла. Тогда (42.44) переходит в
Tito
D(E')dE' 2
_П(Л (е'2 + д2)1/2 V <42-45>
Так как йю значительно меньше энергии Ферми, то следует сделать замену
D{E') " D(0) н вынести это число за знак интеграла. После этого интеграл,
естественно, сразу вычисляется. Тогда вместо (42.45) получаем соотношение
Л = sh [1 ID (0) F0] • (42.46)
Поскольку в практических случаях П(0)У0<1, то окончательно вместо (42.46)
получается следующее приближенное выражение:
| А = 2Йсое-1/с""1Ч (42.47)
Подведем итог проведенным выше рассуждениям: наша цель состояла в
вычислении коэффициентов ик, vk. Поскольку в подстановки для этих
коэффициентов входит только параметр A, jro задача свелась к определению
этого параметра, что и было сделано в (42.46) и (42.47).
Теперь вычислим энергию основного состояния сверхпроводника, подставив в
(42.32) иt и кю Из этой энергии вычтем энергию электронов без учета
взаимодействия, т. е. энергию ферми-моря, тогда для добавки энергии за
счет взаимодействия получаем следующее выражение:
диполи = 2^ (1 - 5ч -4-2
к,к' ^к^к'
\Еъ (42.48)
^ферми-море
Чтобы понять выбранное выражение для 7?ферми-море, вспомним, что Ек = Ек
- ц представляет собой разность энергий относительно уровня Ферми: Ек > 0
для электронов вне сферы Ферми и Ек<0 для электронов внутри сферы Ферми.
Очевидно, что
Ек - j-Ц^у j = 0 при Ек > 0,
Ек[ 1-г§Ч I = ПРИ ^к<0.
(42.49)
*к|
21 Д. X, Хакен
314
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
Отсюда получаем
¦^ферми-море = 2 2
к,Ек"р
(42.50)
где множитель 2 учитывает оба направления спина.
Сложим в (42.48) первый и последний члены, упростим вторую
пропорциональную V0 сумму с помощью соотношения (42.44) и преобразуем
сумму в интеграл
который при A % го упрощается и приводится к виду
Таким образом, общая энергия с учетом электрон-электрон-ного
взаимодействия действительно ниже энергии состояния без взаимодействия.
Заданияк § 42
1. Доказать (42.11).
Указание. Разложить Ф согласно (42.8) и разложить <ф | в произведение
средних значений по отдельным
значениям к.
2. Показать, что
(Фк ] Фк-> = 8kk' при Фк = (ик -f ivJkffliki) Ф0 и u! + i? = I-
§ 43. Возбужденные состояния сверхпроводника
В этом параграфе мы сделаем нечто весьма замечательное. А именно, мы
покажем, как, зная волновые функции основного состояния, можно
сконструировать явные выражения для операторов, которые создают из
основного состояния возбужденные состояния. В качестве ведущей идеи мы
будем руководствоваться идеей, развитой в § 6, где рассматривался пример
смещенного гармонического осциллятора. Ход мыслей при этом будет
следующий: как мы видели в предыдущем параграфе,
основное состояние сверхпроводника можно представить в виде
(0) (Й-со)2 {" 1 (А/Яш)2 - Я. (42.51)
ДДполн = -D (0)4 А2.
(42.52)
Фоен = П^Скак+Г°-ПФо.
к
(43.1)
§ 43]
ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ СВЕРХПРОВОДНИКА
315
При этом действие экспоненциальной функции на вакуумное состояние
приводит к созданию определенного нового состояния. Теперь проведем
аналогию между функцией (43.1) и функцией смещенного гармонического
