Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
осциллятора
Ne^b+Ф0. (43.2)
В § 6 о гармоническом осцилляторе мы обнаружили следующее: стоящие перед
вакуумным состоянием Фп экспоненциальные функции можно представить в виде
некоторого унитарного преобразования, в результате чего функция тппа
(43.2) приобрела вид
еР(ь+-ь)фо_ (43<3)
Затем было показано, что с помощью такого рода унитарного преобразования
можно получить новые операторы рождения и уничтожения. Здесь мы
воспользуемся тем же ходом рассуждений.
Действительно, в § 14 мы видели, что для каждой отдельной
экспоненциальной функции ферми-операторов аt, at:
Nea'a* (43.4)
можно найти унитарное преобразование
e°(ai4-а*ч) (43 5)
такое, что
Ne°* "*'фи = е'а^ п*'"еЛаО1ф0. (43.6)
Предприняв теперь следующие обобщения:
at ->- at't) а. ->- а^ t,
1 kt- 1 let. (43Л)
#2 kit fl-g Я_tj т
заменим волновую функцию (43.1) следующей волновой функцией:
Фосн = П ес'(а^к|-"-кт)ф0. (43<8)
к
Эту точную замену можно интерпретировать следующим образом. Основное
состояние теории БКШ может быть создано из вакуума с помощью унитарного
преобразования U, т. е.
I ФосН = НФ0 (43.9)
21*
316
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
при
и = Д еъ(°№k*-"-k*"kt) s д ^ (43л0)
к к
Теперь мы хотим, как и в случае смещенного гармонического осциллятора
(см. §§ 6 и 14), перейти с помощью этого унитарного преобразования к
новому набору операторов и состояний, так чтобы БКШ-основное состояние
стало "вакуумным состоянием" для наших новых операторов. Для этого
построим операторы
(r)k"t " ?^k(r)kf^k"> akt ~ UkttkfUk. (43.11)
Как было показано в § 14, преобразование (43.11) можно провести в явном
виде, что приводит к результату
^kf ^ HkfHk к|Гк- (43.12)
Новый оператор а?\ тем самым оказывается представленным в виде линейной
комбинации операторов рождения и уничтожения. Соответствующим образом
можно подействовать преобразованием U и на другие операторы akf и т. д.
Эти преобразования приводят к следующим результатам;
akt == aktuk - (43.13)
а±к| = atkiwk -f aktrk, (43.14)
a_ki a_kiwk -f aktrk. (43.15)
Выражения (43.12-43.15) представляют собой известные преобразования
Боголюбова - Валатина, Здесь отчетливо видна основная идея этих
преобразований. Новые операторы, как было уже показано ранее с помощью
прямых расчетов, удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и
старые операторы. Следовательно, они снова представляют ферми-части-цы.
Однако теперь они описывают не рождение одного электрона, а представляют
процесс рождения возбужденного состояния или, другими словами,
квазичастпцы. Эти новые операторы отличаются тем, что они переводят
основное состояние теории БКШ в новое "вакуумное состояние":
(r)к|Фосн = О И Н-кфФосн -т- 0.
Вакуумное состояние квазичастиц получается непосредственно из соотношений
(43.11) и (43.9):
akt^ocH =* иак^ииФ0 = ?7як|Фо = 0 = 1 =о
(почему Uk в (43.11) можно заменить на 27?). Теперь, однако,
§ 43]
ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ СВЕРХПРОВОДНИКА
317
следует указать на существенное отличие этих результатов от
гармонического осциллятора. В случае гармонического осциллятора осповпое
состояние имело точно вид (43.2), и поэтому состояния, полученные с
помощью преобразованных операторов, также были точными. Здесь яге
основное состояние представлено выражением (43.1) лишь приближенно. На
этом основании мы не можем быть наперед уверены, что с помощью нашего
метода будут получены точные возбуягденные состояния. В противном случае
было бы возможно дать точное решение проблемы многих частиц. На самом яге
деле получается следующая ситуация. G помощью преобразований (43.12-
43.15) одна часть оператора Гамильтона дпагонализуется, т. е, становится
точно решаемой с помощью операторов числа частиц. Но при этом остается
еще и другая часть оператора Гамильтона.
Критерий качества всей процедуры состоит в следующем: является ли эта
недиагоналлзованная часть оператора Гамильтона лишь малым возмущением или
нет. Дополнительный член такого рода ведет к тому, что квазичастицы
взаимодействуют друг с другом, т. е. рассеиваются из начальных состояний
и, следовательно, имеют конечное время жизни у. Вся процедура имеет смысл
лишь до тех пор, пока упшрение энергетических уровней за счет конечного
времени жизни много меньше полной энергии квазичастицы. То есть должно
выполняться условие
4k<ek- (43,16)
В последующем изложении мы будем считать, что это условпе выполняется, и
проведем упомянутую процедуру. Для этого разрешим (43.12-43.15)
относительно операторов а, а+ и выразим их в виде линейных комбинаций
операторов а, а+. Затем подставим эти комбинации в И'= Н - \iNoa (42.14)
и после элементарных преобразований получим
I Н' = 2^k(akT "кт -г aikja-iu) + остаток. (43.17)
I к
Поскольку новые операторы а, а+ снова удовлетворяют перестановочным
ферми-соотношениям, то теперь уже нахождение возбужденных состояний и
соответствующих им энергий является тривиальным (если только не принимать
во внимание "остаток").
Согласно § 42, энергия возбуждения Ек "квазичастицы" дается выражением
