Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 103

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 118 >> Следующая

Временные изменения мы получим, как обычно, применяя уравпение
(41.4)
(41.5)
(41.6)
(41.7)
(41.8)
к,а
(41.9)
Теперь примем во внимание, что мы пользуемся электронными операторами в
представлении взаимодействия, т. е. если применить преобразования (41.6-
41.7), то для оператора А получим
§ 411 ФРЁЛИХОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ 301
следующее уравнение:
А '-= i S tew [ek+w,oak,o. Щ 6wei(Ek+w-sk-"w)f +
k,w,o
+ g*J+ [Sfl0fflk+Wl0,3] (41.10)
Поскольку bye и bw коммутируют с электронными операторами (в тот же
момент времени), то порядок следования множителей bw и bt- в (41.10)
безразличен. Имея в виду последующие приближения, при которых эта
перестановочность не гарантирована, мы поставили все Hie в (41.10)
оператор bt впереди, чтобы сохранить эрмитову форму выражения.
В то время как уравнение (41.8) описывает смещение ионов под влиянием
движения электронов, уравнение (41.10), повторим это еще раз, описывает
действие ионов па электрон. Имеет смысл попытаться исключить из этих двух
уравнений координаты колебаний решетки, чтобы получить действие электрона
на другие электроны и на самого себя. Для проведения этой программы
проинтегрируем уравнение (41.8) по времени, в результате чего сразу
получим
х
b?(f) = г 2 tfw \ e'(Ek'+w-?k'-"wn х
к', а'
X ( ttk' + w.a' (r)к',а')т +"t>t (~ °°). (41.11)
Это пока еще совершенно точное выражение. Индекс у выражения в скобках
под интегралом указывает на то, что стоящие здесь операторы берутся в
момент времени т. Последний член в (41.11) относится только лишь к
колебаниям решетки.
Для последующего будет полезно постоянно считать, что операторы
представлены классическими числовыми функциями. На первый взгляд это
может показаться несколько странным, однако с помощью методов, о которых
мы не будем здесь говорить, во многих случаях операторным уравнениям
можно поставить в соответствие классические уравнения. Во всяком случае,
мы хотим отметить, что это действительно возможно - обращаться с
операторами при исследовании их временного поведения как с классическими
величинами.
Теперь сделаем предположение, что взаимодействие между электронами и
колебаниями решетки не слишком сильное. Тогда можно принять, что основная
временная зависимость операторов а* и а представляется стоящими в (41.6)
и (41.7) экспоненциальными функциями, а операторы а и а+ меняются
медленно. Это означает, что операторное выражение в скобках под
интегралом в (41.11) берется в момент времени t и выносятся из-под знака
интеграла. Тогда интеграл сразу вычисляется и мы, если, как
302
СВЕРХПРОВ одимость
[ГЛ. VII
обычно, пренебречь нижней границей интегрирования (что можно сделать с
помощью "адиабатического множителя"), получаем
МО ^ Sw (tfk'+w.a'^k'.d'jf Тр ~ . 1" ( °°)-
k' a' \ 'k'+w к'/ w
(41.12)
Нам удалось выразить в явном виде амплитуды колебаний решетки через
электронные величины. Соответствующее выражение, конечно, получается и
для оператора bw U). Если подставить
(41.12) и только что упомянутое выражение для bw(i) в (41.10), то получим
i(Ek+w_f'k_f'k'+w+Ek')i 2 _1______________________
k.k'.n- 8k'+w ek' fflw X
a,o' ^ ^
X [ йк-|-№!СГйк>а, (r)k',a'(r)k'+w>o' ~f~
M 2 kw|"-4
k,k',w
d.o' ^ ____
X [икда' Uk' f w,o' i A\ ¦ (41.1.j)
В правой части этого уравнения благодаря присутствию экспоненциальных
функций содержатся осциллирующие со временем члены. Если провести
усредпение по небольшому временному интервалу, то заметный вклад будут
давать только такие члены, в которых экспоненциальные функции близки к
единице, т. е. члены следующего вида:
6k+w - "к " ek/+vv - ек/. (41.13а)
На этом же основании можно положить, что оба знаменателя в
(41.13) равны друг другу, вследствие чего общее выражение мож-но вынести
за скобки перед операторами. Небольшие промежуточные вычисления
показывают, что для суммы оставшихся операторов имеет место соотношение
[(r)k+w,ff(r)k,0> -4] (r)к',<т' ^k'+w.a' "Н (r)k+w,cr(r)k,cr [(r)k',cr'(r)k'+w,a''
~
-- f ^k+n^a^k.a^k'.cr'^k'+w.a') • (41.14)
Используя (41.14), можно упростить выражение (41.13):
4 = г 2 I**
k.k'.w 0,0'
X [(r)k+w,a(r)k,cr(r)k'.cr'^k'+WjCr'i -4] • (41.lo)
При этом в вычислениях были опущены стоящие в начале выраг
__________________ gi(ek+w_ek_ek'+w+ek')f х
Ek'+w"_ 8к' - "w
к +w-Ёк~Ёк'+п'+Ек')'
k+w '
( (r)k-Mv,<J^k,a) X
фрелйхоёское взлймодбайвйЕ между электронами
303
жения (41.13) члены, которые содержат фонониые операторы рождения и
уничтожения в момент времени t - - °°. Можно действительно показать, что
эти члены ведут к процессам р.ассе-яшш и не дают вклада в прямое
взаимодействие между электронами. Теперь наша цель заключается в том,
чтобы привести выражение (41.15) к такому виду, в каком оно было
первоначально найдено Фрёлпхом для элёктрон-электроиного взаимодействия.
Для этого сначала поменяем в коммутаторе (41.15) порядок следования
электронных операторов так, чтобы слева стояли операторы рождения, а
справа - операторы уничтожения. Это приводит, при использовании обычных
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed